[論文レビュー] Homogeneous HKT and QKT manifolds

A. Opfermann, George Papadopoulos|ArXiv.org|Jul 24, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、単純なリー代数のダイニキン図の彩色を通じて、$G/K$ 上の不変計量と標準接続を用いて、同次KT、HKT、QKT多様体の広いクラスを構成する。主な貢献は、このような空間の体系的分類であり、特に同次QKT多様体のツイスター空間がKT構造を有することの発見が含まれる。

ABSTRACT

We present the construction of a large class of homogeneous KT, HKT and QKT manifolds, $G/K$, using an invariant metric on $G$ and the canonical connection. For this a decomposition of the Lie algebra of $G$ is employed, which is most easily described in terms of colourings of Dynkin diagrams of simple Lie algebras. KT structures on homogeneous spaces are associated with different colourings of Dynkin diagrams. The colourings which give rise to HKT structures are found using extended Dynkin diagrams. We also construct homogeneous QKT manifolds from homogeneous HKT manifolds and show that their twistor spaces admit a KT structure. Many examples of homogeneous KT, HKT and QKT spaces are given.

研究の動機と目的

• $G/K$ 上の不変幾何学を用いて、同次KT、HKT、QKT多様体を体系的に構成すること。
• $G/K$ 上の単純リー代数のダイニキン図の彩色を通じて、これらの構造を分類すること。
• 特定の彩色とHKTまたはQKT構造の存在との間の対応を確立すること。
• 同次QKT多様体のツイスター空間がKT構造を有することを示すこと。
• 群多様体に関する既知の結果を、ねじれを伴う接続と整合するより広いクラスの同次多様体へと拡張すること。

提案手法

• $G$ における半単純かつコンパクトなリー群の不変計量を用いて、$G/K$ 上の標準接続を定義する。
• ルート系のデータに従って、リー代数 $\mathfrak{g}$ をルート空間に関連する部分空間に分解する。
• ダイニキン図の彩色を用いて分解を符号化し、KT、HKT、QKT構造の分類を行う。
• 拡張されたダイニキン図を用いて、HKT構造をもたらす彩色を同定する。
• HKT多様体から $\Phi(U(2))$ と $U(1)$-ねじれを伴うファイブレーションを用いてQKT構造を構成する。
• ねじれ形式 $H$ の外微分を分析し、閉包性の性質を評価し、曲率のトレースと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのダイニキン図の彩色が $G/K$ 上のKT、HKT、またはQKT構造に対応するか？
• RQ2 標準接続と $G$ 上の不変計量は、どのようにして同次HKTおよびQKT多様体を構成するか？
• RQ3 同次QKT多様体のツイスター空間の構造は何か？ そして、その空間はKT構造を有するか？
• RQ4 これらの幾何構造において、ねじれ $H$ が閉じている（強い構造）か、非閉じている（弱い構造）かの条件は何か？
• RQ5 QKT多様体のファイブレーション構造は非同次の場合へ一般化可能か？ そして、その弦理論への影響は何か？

主な発見

• 複素同次多様体を用いたダイニキン図の彩色を通じて、広いクラスの同次KT多様体が構成された。
• HKT構造は、$G/K$ 上で拡張されたダイニキン図の彩色に正確に対応し、完全な分類法が得られた。
• 同次QKT多様体のツイスター空間はKT構造を有する。これはQK多様体のツイスター構成を一般化するものである。
• 4次元のQKT多様体では、ねじれ $H$ が閉じるための必要十分条件は、曲率が $Sp(1)$-接続に比例することであり、$d=1$ でない限りねじれが消える。
• ねじれの外微分 $\mathrm{d}H$ が、標準接続の曲率の二乗のトレースに比例することを示した。
• 8次元の同次HKT多様体は、しばしば $M_{(7)} \times U(1)$ の形をとり、ここで $M_{(7)}$ はフリード＝ルビン空間である。これは既知のエインシュタイン多様体と関連している。