[論文レビュー] Homogeneous spin Riemannian manifolds with the simplest Dirac operator

P. M. Gadea, J. C. González-Dávila+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リーマン対称空間におけるディラック作用素と同一の形をとる均質なスピンリーマン多様体が、正確にトレースレス巡回多様体であることが確立されている。非コンパクト型の横断的に対称なファイブレーションを用いて、非対称な多様体を分類し、特に古典的および例外的リー群に対して考察している。また、全空間とそのファイバー上のスピン構造の間の一対一対応を確立し、特に$\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$上で直交基底を用いた明示的計算により、ディラック作用素が対称的形をとることを確認した。主な貢献は、ディラック作用素の構造に基づいて、最も単純な非対称スピン多様体を同定したことにある。

ABSTRACT

We show the existence of nonsymmetric homogeneous spin Riemannian manifolds whose Dirac operator is like that on a Riemannian symmetric spin space. Such manifolds are exactly the homogeneous spin Riemannian manifolds $(M,g)$ which are traceless cyclic with respect to some quotient expression $M=G/K$ and reductive decomposition $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{m}$. Using transversally symmetric fibrations of noncompact type, we give a list of them.

研究の動機と目的

• リーマン対称空間におけるディラック作用素の形と同一であるが、対称的でない均質スピンリーマン多様体を特定すること。
• このような多様体が正確にトレースレス巡回多様体であることを特徴づけ、対称の場合を非対称な設定に拡張すること。
• 特に古典的および例外的リー群に対して、非コンパクト型の横断的に対称なファイブレーションを用いてこれらの多様体を分類すること。
• このようなファイブレーションにおいて、全空間とファイバー上のスピン構造の間の一対一対応を確立すること。
• 全空間上のスピン接続とディラック作用素の明示的計算により、ディラック作用素が対称的と似た形をとることを検証すること、特に$\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$上で左不変な直交基底を用いること。

提案手法

• 非ユニモジュラー群を用いた一般化されたバールの公式を用いて、均質スピンリーマン多様体上のディラック作用素を定義する。
• 再帰的分解$\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{m}$と循環条件$\sum_{\text{cyc}} \langle[X,Y]_{\mathfrak{m}}, Z\rangle = 0$を用いて、トレースレス巡回多様体の概念を導入する。
• 非コンパクト型のリーマン対称対$(G,L)$を満たす$\pi: G/K \to G/L$という横断的に対称なファイブレーションを用いる。
• リーマン多様体$G/K$に適した計量を、$B$-直交分解$\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{m}$、$\mathfrak{m} = \mathfrak{f} \oplus \mathfrak{p}$を用いて構成し、$\mathfrak{f}$をファイバー$L/K$に対応させる。
• スピン接続の公式$\nabla^\Sigma_{\bar{X}_i}\psi = \bar{X}_i(\psi) + \frac{1}{4}\sum_{j,k} \Gamma^k_{ij} \bar{X}_j \cdot \bar{X}_k \cdot \psi$を用いてディラック作用素を計算する。
• トレース項$r+s+t=0$が消えることを示すことにより、ディラック作用素が$D\psi = \sum_{i=1}^n X_i \cdot X_i(\psi)$に簡略化されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非対称な均質スピンリーマン多様体が、リーマン対称空間におけるディラック作用素と同一の形をとるか？
• RQ2 再帰的分解$\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{m}$において、ディラック作用素が対称的形$\sum X_i \cdot X_i(\psi)$をとるための幾何的条件は何か？
• RQ3 非コンパクト型の横断的に対称なファイブレーションを用いて、このような多様体を分類し、それらのスピン構造を関連づける方法は何か？
• RQ4 このようなファイブレーションにおいて、全空間とファイバー上のスピン構造の間に一対一対応が存在するか？
• RQ5 $\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$上のトレースレス巡回計量を用いた場合、ディラック作用素が予測どおり対称的形に簡略化されるか？

主な発見

• 均質スピンリーマン多様体上のディラック作用素が対称的形$D\psi = \sum_{i=1}^n X_i \cdot X_i(\psi)$をとるための必要十分条件は、その多様体がトレースレス巡回であることである。
• 対称的と似たディラック作用素をもつすべての非対称な均質スピンリーマン多様体は、非コンパクト型の横断的に対称なファイブレーションを用いて分類されている。
• $G$が古典的単純リー群の場合、$L/K$が等方的不変で、$G/L$が非コンパクト型の不変対称であるような三つ組$(G,L,K)$は、表1および表2に完全に列挙されている。
• Gが単純例外リー群の場合、対応するリー代数三つ組$(\mathfrak{g},\mathfrak{l},\mathfrak{k})$は表3に列挙されている。
• $\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})$上では、直交基底$\{X_1,X_2,X_3\}$を用いた左不変計量で$r+s+t=0$を満たすと、トレースレス巡回計量が得られ、ディラック作用素は$D\psi = \sum_{i=1}^3 X_i \cdot X_i(\psi)$に簡略化される。
• スピン接続およびディラック作用素の計算により、トレース項$-(r+s+t)/2 = 0$が消えることが確認され、対称的と似た形が正当化された。