[論文レビュー] Homogeneous variational complexes and bicomplexes

D.J. Saunders|ArXiv.org|Dec 16, 2005

Composite Material Mechanics参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、m-フレームバンドルにおける同次変分問題へ一般化された変分バイコホモロジー複体とバイコホモロジー複体を導入する。これらの複体は、引き戻しを除いて全域的完全性を示し、標準的な擬ホモトピー作用素を用いて証明される。また、関連するバイコホモロジー複体の端点系列は局所的完全性を示し、高次の同次ラグランジアンおよびそのオイラー＝ラグランジュ形式の解析を可能にする。

ABSTRACT

We present a family of complexes playing the same role, for homogeneous variational problems, that the horizontal parts of the variational bicomplex play for variational problems on a fibred manifold. We show that, modulo certain pullbacks, each of these complexes (apart from the first one) is globally exact. All the complexes may be embedded in bicomplexes, and we show that, again modulo pullbacks, the latter are locally exact. The edge sequence is an important part of such a bicomplex, and may be used for the study of homogeneous variational problems.

研究の動機と目的

• m-フレームバンドル上の同次変分問題へ、変分バイコホモロジー複体の枠組みを拡張すること、特に高次のラグランジアンを対象とする。
• 標準的なジャンクティルバンドル理論における水平変分複体の役割を果たす、ベクトル値微分形式を用いた複体の族を定義すること。
• 標準的に定義された擬ホモトピー作用素を用いて、これらの複体の全域的完全性（最初のもの以外）を引き戻しを除いて確立すること。
• 複体をバイコホモロジー複体に埋め込み、端点系列の局所的完全性を証明することで、同次変分問題の研究を容易にすること。

提案手法

• 本稿では、有限次元のm-フレームバンドル上に、ベクトル値微分形式を用いて同次変分複体を構成し、余境界作用素として$d_{\mathrm{T}}$を用いる。
• 引き戻しを除いて$d_{\mathrm{T}}$の逆作用素を提供する標準的な擬ホモトピー作用素を導入し、最初の複体を除いてすべての複体に対して全域的完全性を保証する。
• 垂直微分を通常の外微分$d$に置き換えたバイコホモロジー複体に複体を埋め込み、局所的完全性を保持する。
• バイコホモロジー複体の端点系列を解析し、引き戻しを除いて局所的完全性であることを示し、同次変分問題の研究に適していることを示す。
• ベクトル値ヒルベルト形式およびオイラー＝ラグランジュ形式を定義し、$\Theta_1 = PdL$および$\varepsilon \otimes d^m t = d\Lambda - d_{\mathrm{T}}\Theta_1$を満たすことで、同値類の全域的代表元を提供する。
• 形式が局所的にオイラー＝ラグランジュ形式であるかどうかを検出するためのヘルムホルツ＝ソニン写像$\mathcal{H}(\Phi) = d\Phi - d_{\mathrm{T}}P\Phi$を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m-フレームバンドル上での同次変分問題に対して、ジャンクティルバンドル上での標準的変分バイコホモロジー複体と類似した構造を持つ変分バイコホモロジー複体を構築できるか？
• RQ2 最初のもの以外のすべての次数について、同次変分複体が引き戻しを除いて全域的完全性を満たすか？
• RQ3 同次変分バイコホモロジー複体の端点系列は、同次変分問題の解を特徴付けるためにどのように利用できるか？
• RQ4 スカラーm-形式$\Theta_m$を構成でき、それが閉形式であることとラグランジアンがゼロであることが同値になるようにできるか（既知の一次元の場合の一般化）？
• RQ5 高次のラグランジアンの文脈において、ヘルムホルツ＝ソニン写像とバイコホモロジー複体の局所的完全性の関係は何か？

主な発見

• 最初の複体を除いて、すべての同次変分複体が引き戻しを除いて全域的完全性を示し、$d_{\mathrm{T}}$の全域的逆作用素を提供する標準的な擬ホモトピー作用素が存在する。
• 同次変分バイコホモロジー複体の端点系列は、引き戻しを除いて局所的完全性を示し、同次変分問題の研究をコホモロジー的手段で可能にする。
• $r \geq 1$に対して、$\Xi^r_k \to \Omega^{r,m}_k$の写像$p_r(\Phi) \mapsto \Phi - d_{\mathrm{T}}P\Phi$は、全域的に適切に定義されており、$\Xi^r_k$の各同値類に対する標準的代表元を提供する。
• オイラー＝ラグランジュ形式$\varepsilon \otimes d^m t$は、$p_1(dL)$の同値類の標準的代表元であり、標準的変分理論と整合性を保つことを確認する。
• ヘルムホルツ＝ソニン写像$\mathcal{H}(\Phi) = d\Phi - d_{\mathrm{T}}P\Phi$は、形式が局所的にオイラー＝ラグランジュ形式であるかどうかを検出でき、$\mathcal{H}(\Phi) = 0$であれば局所的完全性が成り立つ。
• 予備的な結果から、2つの独立変数をもつ2次ラグランジアンに対して、ゼロラグランジアンと同値な$\Theta_2$が存在し、4次フレームバンドルに射影可能であることが示唆されている。