[論文レビュー] Homogeneous variational problems: a minicourse

David Saunders|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

このミニコースでは、m次元部分多様体を極値とする均質な変分問題の幾何的枠組みを提示する。速度多様体とジャンル理論を用いて、極値としてのm次元部分多様体を扱う。Euler-Lagrange方程式が消える（つまり、変分問題が臨界的である）ための必要十分条件は、最高次のEuler-Cartan形式が消えることであると確立され、コhomological手法と同次性の性質を用いて、Finsler幾何学を高次元の極値部分多様体へ一般化する。

ABSTRACT

A Finsler geometry may be understood as a homogeneous variational problem, where the Finsler function is the Lagrangian. The extremals in Finsler geometry are curves, but in more general variational problems we might consider extremal submanifolds of dimension $m$. In this minicourse we discuss these problems from a geometric point of view.

研究の動機と目的

• 曲線を超えてm次元部分多様体を極値とする幾何的変分法の拡張を図ること。
• 速度に関して同次なラグランジアンを有する一次変分問題を形式化し、Finsler幾何学を一般化すること。
• ジャンル群とホモトピー作用素を用いたコhomological枠組みを構築し、Euler-Lagrange方程式を導出すること。
• 最高次のEuler-Cartan形式の消えることによって、変分問題の臨界性を特徴付けること。
• 全Euler-Cartan形式の消えることと、その最高次成分の消えることの同値性を確立すること。

提案手法

• 底多様体E上のm次速度多様体T_mEを、T_mE ≅ TE ⊕ … ⊕ TE（m個の直和）として定義するベクトルバンドルとして構成する。
• ジャンル群と2次速度を用いて、一次変分問題から生じる高階微分方程式をモデル化する。
• ラグランジアンΛの速度成分に関する対称微分を用いて、同次ラグランジアンΛの基本的同値Θ_mを定義する。
• ホモトピー作用素P1とP2を用い、Euler-Cartan形式E_rとE_{r+1}の間の再帰的関係を確立する。
• Euler-Cartan形式の各次数を結ぶ重要な恒等式dΘ_r = E_r - (-1)^r d_T Θ_{r+1}を導出する。
• 最高次の形式Θ_mとラグランジアンΛとの関係を用いて、E_m = 0であるための必要十分条件がE_0 = 0であること、つまり臨界性が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m次元部分多様体を極値とする変分問題を、速度多様体とジャンル理論を用いてどのように幾何的に定式化できるか？
• RQ2 ラグランジアンにおける同次性が、高次元問題における変分構造の一貫性を保つために果たす役割は何か？
• RQ3 Euler-Cartan形式E_rは、次数rに応じてどのように関係し合い、再帰的関係式によって支配されるか？
• RQ4 最高次のEuler-Cartan形式E_mが、全変分系とどのような意味で同値であり、臨界性を示す根拠となるのか？
• RQ5 均質な変分問題が臨界的であるための正確なコhomological条件は何か？また、それは基本的同値Θ_mの消えることとどのように関連しているか？

主な発見

• 同次ラグランジアンΛの基本的同値Θ_mは、Θ_m = (1/m!) ∂^m L / ∂u^a_1…∂u^a_m du^a_1 ∧ … ∧ du^a_m で与えられ、Lはラグランジアン、u^a_iは速度成分である。
• 最高次のEuler-Cartan形式E_mが消えることと、最低次の形式E_0が消えることは同値であり、形式の階層全体にわたる臨界性の同値性が確立される。
• ホモトピー作用素P1を用いることで、dΘ_rからΘ_{r+1}をΘ_{r+1} = (-1)^r P1 dΘ_rとして再構成でき、高次形式の再帰的導出が可能になる。
• 再帰的関係式dΘ_r = E_r - (-1)^r d_T Θ_{r+1}により、Euler-Cartan形式が次数間で結びつけられ、E_rからE_{r+1}を導出可能となる。
• ジャンル群による速度多様体への作用は、変分問題の幾何的構造を定義し、再パrametrization不変性を保証するために不可欠である。
• 主たる結果は、E_m = 0であるための必要十分条件がE_0 = 0であることであり、これは変分問題が、最高次形式の条件を満たすときに限り臨界的であることを示している。