[論文レビュー] Homogenisation in finite elasticity for composites with a high contrast in the vicinity of rigid-body motion

Mikhail Cherdantsev, Kirill Cherednichenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、剛体運動を強制する境界条件を伴う、高剛性対比を示す周期的2相複合材料の有限変形均質化のためのマルチスケール漸近的枠組みを構築する。剛体運動の近傍で硬相の応答を線形化し、$γ$-収束を用いることで、2スケール展開を伴う極限エネルギー関数を導出。$\lambda_\varepsilon \sim 1$ のとき、軟相の勾配はオーダー1のままであり、均質化エネルギーはスケーリングされたエネルギー密度の準凸包によって支配されることを示した。

ABSTRACT

We present a multiscale asymptotic framework for the analysis of the macroscopic behaviour of periodic two-material composites with high contrast in a finite-strain setting. Our derivation starts with the geometrically nonlinear description of a composite consisting of a stiff material matrix and soft, periodically distributed inclusions, where the contrast between the components is coupled with the period $\varepsilon.$ We assume that the deformation field is a rigid-body motion on some part of the boundary of the composite, and consider various loading regimes, which are controlled by an additional parameter $\lambda_\varepsilon.$ We show that for particular regimes the elastic displacements are small throughout the material as $\varepsilon o0$ and that the deformation gradients in the stiff material are situated in the vicinity of the rigid-body motion specified by the boundary condition. This allows to replace, in the homogenisation limit, the nonlinear material law of the stiff component by its linearised version. The behaviour of the deformation gradients on the soft component depends on the asymptotics of $\lambda_\varepsilon.$ In particular, in the case $\lambda_\varepsilon\sim1$ they are shown to be of order one, and the related contribution to the homogenised energy is expressed via the quasiconvex envelope of the original stored-energy density defined on suitably rescaled gradient fields. As a main result we derive, in the spirit of $\Gamma$-convergence, a limit energy functional and establish a precise two-scale expansion for minimising sequences.

研究の動機と目的

• 周期的2相複合材料の高剛性対比を有する有限変形下でのマクロスケール機械的応答をモデル化すること。
• 境界条件によって硬相が剛体運動に近接している場合の変形勾配の漸近的挙動を理解すること。
• 周期$\varepsilon \to 0$ の極限において、さまざまな荷重制御パラメータ$\lambda_\varepsilon$ に従う、厳密な均質化エネルギー関数を導出すること。
• 硬相の非線形材料法則が均質化極限で線形化可能となる条件を同定すること。
• 特に$\lambda_\varepsilon \sim 1$ のとき、軟相が均質化エネルギーに与える寄与を特定すること。

提案手法

• 周期的微細構造と$\varepsilon$ でスケーリングされた剛性対比を有する2材料複合材料の幾何学的非線形弾性問題を定式化する。
• 境界の一部に剛体運動を強制する境界条件を課し、極限において硬相の変形勾配が単位行列に近づくように制約を課す。
• 外部荷重の大きさと変位の漸近的スケーリングを制御するための荷重パラメータ$\lambda_\varepsilon$ を導入する。
• 剛体運動の近傍で硬成分の保存エネルギー関数を線形化し、$\varepsilon \to 0$ のとき硬相における弾性変位が小さいことからその正当化を行う。
• $\Gamma$-収束技術を用いて極限エネルギー関数を導出し、最小化列に対してマクロスケールおよびミクロスケールの変形場を含む2スケール展開を適用する。
• 軟相の均質化エネルギーを、勾配の漸近的スケーリングを考慮した、スケーリングされた保存エネルギー密度の準凸包を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均質化極限において、硬相の変形が剛体運動に近いかどうかの条件は何か？
• RQ2 スケーリングパラメータ$\lambda_\varepsilon$ は、軟相の変形勾配の漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ3 均質化極限において、硬相の非線形材料法則を線形化されたバージョンに置き換え可能か？その条件は何か？
• RQ4 特に$\lambda_\varepsilon \sim 1$ のとき、複合材料の極限エネルギー関数の明確な形は何か？
• RQ5 高対比を有する有限変形均質化の文脈で、最小化列の2スケール展開をどのように厳密に導出できるか？

主な発見

• 特定の$\lambda_\varepsilon$ に従う荷重制御領域では、$\varepsilon \to 0$ のとき硬相内の弾性変位が消えるため、その材料法則の線形化が正当化される。
• 硬相の変形勾配は剛体運動の近傍に留まり、均質化極限における線形近似の有効性が保証される。
• $\lambda_\varepsilon \sim 1$ のとき、軟相の勾配はオーダー1のままであり、その寄与はスケーリングされた保存エネルギー密度の準凸包によって捉えられる。
• 最小化列に対する明確な2スケール展開が確立され、極限においてマクロスケールとミクロスケールの変形場が結びつけられる。
• 極限エネルギー関数は$\Gamma$-収束を用いて導出され、高対比複合材料の有限変形における厳密な漸近的モデルが得られた。
• この枠組みにより、均質化極限において硬相の完全な非線形応答を線形化されたバージョンに置き換えることが可能となり、解析が著しく簡素化される。