[論文レビュー] Homogenising differential operators

Francisco Jesús Castro Jiménez, Luis Narváez Macarro|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Weyl代数内の線形微分作用素に対する均質化法を導入し、Lazardの多項式均質化を一般化して、許容的フィルトレーションに関連する次数付きイデアルを計算する。均質化代数におけるδ標準基底のための除法アルゴリズムとBuchberger型基準を確立し、D加群の関連次数付きイデアルの有効な計算を可能にし、スロープ計算の重要なステップを達成する。

ABSTRACT

We consider the Weyl algebra A (=A_n(k)) and its Rees algebra B with respect to the Bernstein filtration. The homogenisation of a differential operator in A is an element in B. In this paper we establish the validity of the division theorem for homogenized differential operators and Buchberger's algorithm for computing Groebner (or standard) bases in B. As an application we describe an algorithm for computing delta-standard bases in the Weyl algebra A.

研究の動機と目的

• Lazardの多項式均質化をWeyl代数内の線形微分作用素へ一般化すること。
• 順序関数と関連する線形形式を用いて、Weyl代数上の許容的フィルトレーションを定義し、それらを研究すること。
• 左イデアル $ I \subset A_n $ の関連次数付きイデアル $ \mathrm{gr}_\delta(I) $ の計算を可能にする、$ A_n[t] $ におけるδ標準基底を計算するためのアルゴリズム的フレームワークを構築すること。

提案手法

• Weyl代数 $ A_n $ の元を、中心変数 $ t $ を持つ次数代数 $ B = A_n[t] $ に上げる均質化写像 $ h: A_n \to A_n[t] $ を導入し、関係式が $ t^2 $ でスケーリングされる。
• Weyl代数 $ A_n $ 上の順序関数 $ \delta $ を用いて許容的フィルトレーションを定義し、$ \mathbb{Q}^{2n} $ 上の整数係数を持つ線形形式 $ \Lambda_\delta $ で特徴づけられる。
• Rees代数 $ B $ をWeyl代数の均質化版として構成し、$ A_n \cong B/(t-1) $ が成り立つようにし、$ B $ 上に単項式順序 $ \prec_\delta^h $ を定義する。
• 半サイジージ $ S(H_1, H_2) $ を用いて、標準基底の完全性をテストする除法定理とBuchbergerのアルゴリズムを $ B $ に対して確立する。
• 均質化イデアル $ \widetilde{I} \subset A_n[t] $ のδ標準基底の $ t \mapsto 1 $ による像が、$ I \subset A_n $ のδ標準基底を生成することを証明する。
• 生成元の初期形式 $ \sigma_\delta(G_{i|t=1}) $ が、$ I $ の関連次数付きイデアル $ \mathrm{gr}_\delta(I) $ を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式の均質化をどのようにWeyl代数内の線形微分作用素へ拡張し、アルゴリズム的計算を可能にするか？
• RQ2 Weyl代数上の許容的フィルトレーションを定義する条件は何か？ また、$ \mathbb{Q}^{2n} $ 上の線形形式を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 Buchbergerのアルゴリズムを均質化Weyl代数 $ A_n[t] $ に適応し、左イデアルのδ標準基底を計算することができるか？
• RQ4 均質化プロセスは関連次数付きイデアル $ \mathrm{gr}_\delta(I) $ の構造をどのように保ち、その計算的意義は何か？

主な発見

• 微分作用素 $ P \in A_n $ の均質化は、$ B $ における同次元としての $ h(P) \in A_n[t] $ として定義され、$ A_n \cong B/(t-1) $ を満たす。
• Weyl代数 $ A_n $ 上の許容的フィルトレーションは、$ \mathbb{N}^{2n} $ 上の整数値線形形式 $ \Lambda_\delta $ の線形拡張としての順序関数 $ \delta $ によって特徴づけられ、$ p_i + q_i \geq 0 $ を満たす。
• $ A_n[t] $ において、単項式順序 $ \prec_\delta^h $ に関して除法アルゴリズムが存在し、$ H = \sum Q_i P_i + R $ と一意に表現可能で、ニュートン多面体が制御可能である。
• 半サイジージ $ S(H_1, H_2) $ は指数三つ組の最小公倍を用いて定義され、δ標準基底の完全性をテストする基準として機能する。
• すべてのペアについて $ S(P_i, P_j) $ を $ \{P_1, \dots, P_r\} $ で割った余りが0ならば、$ \{P_1, \dots, P_r\} $ はイデアル $ J \subset A_n[t] $ のδ標準基底である。
• 均質化イデアル $ \widetilde{I} \subset A_n[t] $ のδ標準基底の $ t \mapsto 1 $ による像は、$ I \subset A_n $ のδ標準基底を生成し、その生成元の初期形式は $ \mathrm{gr}_\delta(I) $ を生成する。