[論文レビュー] Homogenization and enhancement of the $G-$equation in random environments

Pierre Cardaliaguet, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、発散なしの流れを伴う確率的、定常的、エルゴード的環境下における $G$-方程式の均質化を確立し、凸で正homogeneous（同次）なハミルトニアンを持つ決定論的非等方的 $G$-方程式への収束を証明する。非強制性と一様可積分性の欠如に起因する困難を、新規の到達可能性推定と漸近的極限を持つ構築済み確率的列を用いて克服することで、速度増幅の条件を同定する。

ABSTRACT

We study the homogenization of a $G$-equation which is advected by a divergence free stationary vector field in a general ergodic random environment. We prove that the averaged equation is an anisotropic deterministic G-equation and we give necessary and sufficient conditions in order to have enhancement. Since the problem is not assumed to be coercive it is not possible to have uniform bounds for the solutions. In addition, as we show, the associated minimal (first passage) time function does not satisfy, in general, the uniform integrability condition which is necessary to apply the sub-additive ergodic theorem. We overcome these obstacles by (i) establishing a new reachability (controllability) estimate for the minimal function and (ii) constructing, for each direction and almost surely, a random sequence which has both a long time averaged limit (due to the sub-additive ergodic theorem) and stays (in the same sense) asymptotically close to the minimal time.

研究の動機と目的

• 非強制的で確率的、定常的、エルゴード的環境下における $G$-方程式の均質化という長年の未解決問題を解消すること。
• 平均化された前進伝播を支配する決定論的有効ハミルトニアン $\overline{H}$ の存在を確立すること。
• 平均化された前線速度が基本速度を厳密に上回る（すなわち増幅が発生する）条件を特定すること。
• 最小時間関数における一様有界性の欠如および一様可積分性の失敗に起因する、標準的サブ加法的エルゴード理論の無効化を克服すること。
• 非強制的ハミルトン＝ヤコビ方程式に対して、確率的媒体における新規な手法的枠組みを構築すること。

提案手法

• 最小時間関数に対する新しい到達可能性（可制御性）推定を導入し、一様有界性の欠如を回避する。
• 元の確率空間とは独立な確率的列を構築し、方向 $a$ において最小時間関数を漸近的に追跡する。
• 構築した列に対してサブ加法的エルゴード定理を適用し、ほとんど確実な長時間極限を確立する。
• 最小時間関数のスケーリングされた極限がほとんど確実に存在し、時間定数 $Z^a(\omega)$ に等しいことを証明する。
• 時間定数の存在を活用して、双対性および凸性の議論により有効ハミルトニアン $\overline{H}$ を導出する。
• 最小時間関数の $t^{-1}\theta(0,ta,\omega)$ の極限と時間定数の等価性を確立し、2次元でほとんど確実な収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的、発散なしの環境下における $G$-方程式は、どのような条件下で決定論的 $G$-方程式に均質化されるか？
• RQ2 有効前線速度が1より厳密に大きい（すなわち増幅が発生する）のはいつか？
• RQ3 方程式が非強制的であり、最小時間関数が一様可積分性を持たない場合、どのようにして均質化を達成できるか？
• RQ4 一般のエルゴード的条件下で、2次元において最小時間関数の時間定数をほとんど確実に定義できるか？
• RQ5 ベクトル場の伝播方向との相関関係が増幅を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $G$-方程式の解 $u^\varepsilon$ は、$(x,t)$ において局所的に一様に、$\omega$ においてほとんど確実に、有効ハミルトニアン $\overline{H}$ を持つ決定論的 $G$-方程式の解 $\overline{u}$ に収束する。
• 有効ハミルトニアン $\overline{H}$ は凸であり、一次同次で、すべての $p \in \mathbb{R}^N$ に対して $|\overline{H}(p)| \geq |p| + \langle \mathbb{E}[V], p \rangle$ を満たす。
• $V(y,\omega)$ がほとんど確実に $p$ に直交しない場合に限り、増幅が発生する。そうでない場合、$\overline{H}(p) = |p| + \langle \mathbb{E}[V], p \rangle$ である。
• 2次元では、時間定数が方向 $a$ と一致するため、任意の $a \in B$ に対して $\lim_{t\to\infty} t^{-1}\theta(0,ta,\omega)$ がほとんど確実に存在する。
• 構築された確率的列により、最小時間関数が時間定数に漸近的に近接することが保証され、一様可積分性の欠如にもかかわらずサブ加法的エルゴード定理の適用が可能になる。
• $W^a \subset \mathbb{R}a$ が2次元で成立することを証明し、速度ベクトルが方向 $a$ と一致することを示し、ほとんど確実に $\lambda a \in W^a$（$\lambda \geq 1$）が成り立つ。