[論文レビュー] Homogenization and Non-Homogenization of certain Non-Convex Hamilton-Jacobi Equations

William M. Feldman, Panagiotis E. Souganidis|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率的媒体における非凸HJ方程式が均質化または非均質化する条件を確立する。2つのクラスに分類される：厳密な鞍点を持つハミルトニアンは均質化しないが、一様に厳密に星型の下位集合を持つハミルトニアンは均質化する。これは、有限範囲の相関を持つ場合の、既存の均質化結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We continue the study of the homogenization of coercive non-convex Hamilton-Jacobi equations in random media identifying two general classes of Hamiltonians with very distinct behavior. For the first class there is no homogenization in a particular environment while for the second homogenization takes place in environments with finite range dependence. Motivated by the recent counter-example of Ziliotto, who constructed a coercive but non-convex Hamilton-Jacobi equation with stationary ergodic random potential field for which homogenization does not hold, we show that same happens for coercive Hamiltonians which have a strict saddle-point, a very local property. We also identify, based on the recent work of Armstrong and Cardaliaguet on the homogenization of positively homogeneous random Hamiltonians in environments with finite range dependence, a new general class Hamiltonians, namely equations with uniformly strictly star-shaped sub-level sets, which homogenize.

研究の動機と目的

• 確率的媒体における強制的非凸HJ方程式が均質化するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 均質化の発生または失敗を決定するハミルトニアンの構造的条件を同定すること。
• 凸および正homogeneousな場合を超えて、より広い非凸ハミルトニアンのクラスにまで均質化理論を拡張すること。
• 局所的な幾何的特徴（例：厳密な鞍点）が均質化を妨げる役割を分析すること。
• 一様に厳密に星型の下位集合を持つハミルトニアンの新クラスに対して均質化を確立し、以前のhomogeneousハミルトニアンに関する結果を一般化すること。

提案手法

• ハミルトニアンの勾配変数における厳密な鞍点の概念を導入する。これは、点の近傍で関数が一方の部分空間では減少し、他方では増加する直交部分空間によって定義される。
• 強制的ハミルトニアンに厳密な鞍点を備え、定常的でエルゴード的な確率的ポテンシャル場を用いた反例を構築し、解の極限下限と上限における振動的挙動により非均質化を示す。
• アームストロングとカルダリアゲティ（2016）が正homogeneousハミルトニアンの均質化に用いた技術を、星型の下位集合を持つより広いクラスに適応する。
• 有効ハミルトニアンを度合い問題を通じて定義し、平面的な度合い構造を用いて有効ハミルトニアンの収束速度に関する定量的推定を得る。
• ほぼ加法性を確立し、二進スケーリングを用いて補正問題の収束に関するモーメントバウンドを導出する。
• 重み関数 $ Z(x,t) = \exp(-\lambda m^1(x)) + \exp(-\lambda t) $ を用いて、均質化極限を検証する下位解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸HJ方程式は確率的媒体で均質化可能か？ その条件はハミルトニアンの構造的性質にどのように依存するか？
• RQ2 ハミルトニアンに厳密な鞍点が存在しても、強制的条件下では均質化が妨げられるか？
• RQ3 正homogeneousハミルトニアンの均質化結果を、より広い非凸ハミルトニアンのクラスへ拡張可能か？
• RQ4 ハミルトニアンの下位集合のどの幾何的性質が、有限範囲の相関下で均質化を保証するか？
• RQ5 有効ハミルトニアン $ \overline{H} $ は、元のハミルトニアン $ H $ から星型性と正則性をどのように引き継ぐか？

主な発見

• ハミルトニアンが $ \xi_0 $ に厳密な鞍点を持つ場合、均質化は失敗する：線形初期データ $ u_0(x) = \xi_0 \cdot x $ に対して、ほとんど確実に $ \liminf_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) < \limsup_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(0,t) $ が成り立つ。
• ハミルトニアンが空間時間定常的かつエルゴード的であれば、$ Dh(\xi_0) = 0 $ を要求しない場合でも、非均質化結果は成り立つ。
• 一様に厳密に星型の下位集合を持つハミルトニアンに対しては、確率的環境の有限範囲の相関下で均質化が成立する。
• 有効ハミルトニアン $ \overline{H} $ は星型性を引き継ぐ：$ \xi \neq 0 $ かつ $ \overline{H}(\xi) > 0 $ のとき、径方向微分係数は $ \frac{\xi}{|\xi|} \cdot D_\xi \overline{H}(\xi) \geq c(\overline{\mu}) \overline{H}(\xi) \omega(\overline{H}(\xi)) $ を満たす。
• 収束速度 $ \delta v^\delta(0,\xi) $ から $ \overline{H}(\xi) $ への定量的推定が得られる：$ \mathbb{P}(|\delta v^\delta(0,\xi) + \overline{H}(\xi)| > \lambda \omega'(\delta |\log \delta|)) \leq C \exp(-c \lambda^{4 \wedge d}) $。
• 有効ハミルトニアン $ \overline{H}(\xi) $ は $ \inf\{ \mu > 0 : \overline{r}_\mu(\xi/|\xi|) \geq |\xi| \} $ として定義され、度合い問題の解と関連づけられる。