[論文レビュー] Homogenization-based Analysis of Quasicontinuum Method for Complex Crystals

Assyr Abdulle, Ping Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複雑な結晶に対する準連続（QC）法を分析するための均質化に基づくフレームワークを導入し、1次元における収束性を確立するとともに、離散的均質化と改善されたコーシー＝ボーンQC定式化との間の同等性を示した。この手法により、厳密な誤差推定が可能となり、2次元設定への自然な拡張が可能であり、数値結果により$L^2$および$H^1$ノルムにおける最適収束率が確認された。

ABSTRACT

Among the efficient numerical methods based on atomistic models, the quasicontinuum (QC) method, introduced by Tadmor, Ortiz, and Phillips (1996), has attracted growing interest in recent years. Originally, the QC method was developed for materials with simple crystalline lattice (simple crystals) and later was extended to complex lattice (Tadmor et al, 1999). In the present paper we formulate the QC method for complex lattices in a homogenization framework and perform analysis of such a method in a 1D setting. We also present numerical examples showing that the convergence results are valid in a more general setting.

研究の動機と目的

• 従来の解析が不足している複雑な結晶性材料における準連続（QC）法を厳密に数学的に分析するためのフレームワークを構築すること。
• 離散的数値均質化技術を用いて、複雑な格子構造におけるQC法の収束性を確立すること。
• 原子論的モデルと連続体力学の間のギャップを、均質化フレームワーク内にQCを定式化することで埋めること。
• 均質化されたQC解と完全な原子論的解との間の誤差推定を提供すること。
• 堅牢な均質化基盤を用いて、有限温度および非結晶性材料へのQCの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 原子論的系をマルチスケール問題とみなして、複雑な格子構造におけるQC法を離散的均質化フレームワーク内で定式化すること。
• 複雑な結晶における部分格子間の相対変位をモデル化するために、改善されたコーシー＝ボーン則を用いること。
• 事前計算を回避するために、リアルタイムで有効ポテンシャルを計算するための数値均質化を適用すること。
• 粗いスケールの自由度を用いて、複雑な材料の有効な挙動を捉えるマクロ・マイクロ数値スキームを構築すること。
• 均質化された解から完全な原子論的解を近似するための後処理再構成を実装すること。
• 有限要素離散化と適応的サンプリング領域を用いて、1次元および2次元設定での手法の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の部分格子を有する複雑な結晶に対して、均質化フレームワークを用いてQC法を厳密に分析することは可能か？
• RQ2 線形で周期的な原子論的系において、1次元における均質化QC法の収束速度は何か？
• RQ3 離散的均質化アプローチは、改善されたコーシー＝ボーン則に基づく標準的なQC定式化と同等か？
• RQ4 1次元で導出された誤差推定は、非線形および多次元問題にどのように拡張可能か？
• RQ5 均質化に基づくQC法は、結合剛性が異なる2次元複雑結晶系に効果的に適用可能か？

主な発見

• 1次元において、均質化QC法は$H^1$ノルムで1次収束、$L^2$ノルムで2次収束を示し、理論的予測と一致した。
• 2次元における数値実験により、$L^2$および$H^1$誤差の両方で同じ収束率が確認され、1次元解析の高次元への妥当性が裏付けられた。
• 細かいメッシュサイズにおいて、$L^2$誤差にプラトーが観察されたことから、最適収束挙動が示された。
• 離散的均質化フレームワークは、改善されたコーシー＝ボーン則に基づくQC法と同等であり、理論的整合性が確立された。
• 後処理を用いた再構成により、完全な原子論的解の高精度な再構築が可能であり、誤差境界は均質化プロセスから導出された。
• 本手法は、有限温度シミュレーションおよび非結晶性材料へも拡張可能であり、今後のマルチスケールモデリングへの道筋を提供する。