[論文レビュー] Homogenization of elliptic problems: error estimates in dependence of the spectral parameter

T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期的係数をもつ強楕円型微分作用素の均質化における、解の作用素誤差推定を鋭く確立する。境界領域におけるディリクレおよびノイマン問題の解の作用素に対する収束速度を、スケーリングパラメータ $\varepsilon$ とスペクトルパラメータ $\zeta$ に明示的に依存する形で導出し、$H^1$-ノルムにおいて解の近似に対して $O(\varepsilon)$ の誤差境界を達成する。定数はスペクトル的および幾何的パラメータによって制御される。

ABSTRACT

We consider a strongly elliptic differential expression of the form $b(D)^* g(x/\varepsilon) b(D)$, $\varepsilon >0$, where $g(x)$ is a matrix-valued function in ${\mathbb R}^d$ assumed to be bounded, positive definite and periodic with respect to some lattice; $b(D)=\sum_{l=1}^d b_l D_l$ is the first order differential operator with constant coefficients. The symbol $b(ξ)$ is subject to some condition ensuring strong ellipticity. The operator given by $b(D)^* g(x/\varepsilon) b(D)$ in $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ is denoted by $A_\varepsilon$. Let ${\mathcal O} \subset {\mathbb R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. In $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$, we consider the operators $A_{D,\varepsilon}$ and $A_{N,\varepsilon}$ given by $b(D)^* g(x/\varepsilon) b(D)$ with the Dirichlet or Neumann boundary conditions, respectively. For the resolvents of the operators $A_\varepsilon$, $A_{D,\varepsilon}$, and $A_{N,\varepsilon}$ in a regular point $ζ$ we find approximations in different operator norms with error estimates depending on $\varepsilon$ and the spectral parameter $ζ$.

研究の動機と目的

• 周期的楕円型作用素のディリクレおよびノイマン境界条件における解の作用素に対する誤差推定を導出すること。
• 均質化近似の誤差が、微小パラメータ $\varepsilon$ とスペクトルパラメータ $\zeta$ の両方にどのように依存するかを定量化すること。
• 解の近似における $H^1$-ノルムにおける $O(\varepsilon)$ の鋭い収束速度を確立することにより、従来の $O(\varepsilon^{1/2})$ の境界を改善すること。

提案手法

• 正規化理論を用いて、$\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ および $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ の解の作用素に対する精密な近似を構築する。
• 作用素の恒等式と関数解析的計算を用いて、スペクトルパラメータに依存する推定を適用する。
• スケーリング変換とフロケ＝ブロッハ理論を用いて、周期的構造およびスペクトル的挙動を分析する。
• 内部領域 $\mathcal{O}'$ における $H^1(\mathcal{O}')$-ノルムでの誤差境界を導出し、境界からの距離 $\delta$ に明示的な依存関係を示す。
• 解の作用素にスペクトルパラメータ $\zeta$ を導入し、収束速度がスペクトル位置にどのように依存するかを研究する。
• 補助的作用素と射影技術を用いて、$L^2$ および $H^1$-ノルムにおける誤差を、$c(\vartheta)$ と $\rho_\flat(\zeta)$ を含む推定によって制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の作用素における誤差推定は、解の作用素に含まれるスペクトルパラメータ $\zeta$ にどのように依存するか？
• RQ2 境界効果が存在するにもかかわらず、ノイマン問題において $H^1$-ノルムで $O(\varepsilon)$ の鋭い収束速度を達成できるか？
• RQ3 スペクトルパラメータ $\zeta$ は、解の近似における誤差境界の鋭さと構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 境界からの距離 $\delta$ は、内部領域における収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 $H^1$-ノルムにおける作用素誤差推定を、ノイマン型問題において $O(\varepsilon^{1/2})$ から $O(\varepsilon)$ に改善できるか？

主な発見

• 内部領域 $\mathcal{O}'$ における $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ の解の作用素近似の作用素ノルム誤差は、$C \varepsilon \left( \delta^{-1} \rho_\flat(\zeta) + \delta^{-1} c(\vartheta)^{5/2} \rho_\flat(\zeta)^{3/4} \right)$ で有界であり、ここで $\delta = \mathrm{dist}(\mathcal{O}^\prime, \partial\mathcal{O})$ である。
• 領域 $\mathcal{O}'$ におけるフラックス $\mathbf{p}_\varepsilon = g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon$ の $L^2(\mathcal{O}')$-ノルム誤差は、$C \varepsilon \left( \delta^{-1} \rho_\flat(\zeta) + c(\vartheta)^{5/2} \rho_\flat(\zeta)^{3/4} \right)$ で有界であり、$O(\varepsilon)$ 収束を示している。
• $L^2 \to H^1$ 作用素ノルム誤差 $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}^{-1}$ は、$C \varepsilon \left( \delta^{-1} \rho_\flat(\zeta) + c(\vartheta)^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{5/4} \right)$ で有界であり、定数は $\varepsilon$ および $\zeta$ に依存しない。
• 正規化作用素 $\varepsilon \widehat{K}_N(\varepsilon; \zeta)$ は、ノイマン問題において $H^1(\mathcal{O}')$ で $O(\varepsilon)$ 収束を達成し、従来の $O(\varepsilon^{1/2})$ の結果を改善している。
• スペクトルパラメータ $\zeta$ の依存性は、$\rho_\flat(\zeta)$ および $c(\vartheta)$ を通じて入り込み、スペクトルギャップにおける誤差の増大を制御する。
• 結果は次数において鋭く、ディリクレおよびノイマン問題の両方に拡張可能であり、スペクトルパラメータおよび領域の幾何的性質に明示的な依存関係を有する。