[論文レビュー] Homogenization of Green and Neumann Functions

Carlos E. Kenig, Fanghua Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期的で急激に変動する係数を有する2階楕円型作用素に関連するグリーン関数およびノイマン関数の鋭い漸近展開と収束速度を確立する。ディリクレおよびノイマン補正子を用いて、ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす解について、最適な $W^{1,p}$ 収束速度を導出する。グリーン関数およびノイマン関数に対して $O(
varepsilon)$ 評価を行い、$C^{2,\eta}$ 域ではその勾配に対して $O(\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2))$ の境界を提供する。

ABSTRACT

For a family of second-order elliptic operators with rapidly oscillating periodic coefficients, we study the asymptotic behavior of the Green and Neumann functions, using Dirichlet and Neumann correctors. As a result we obtain asymptotic expansions of Poisson kernels and the Dirichlet-to-Neumann maps as well as near optimal convergence rates in $W^{1,p}$ for solutions with Dirichlet or Neumann boundary conditions.

研究の動機と目的

• 迅速に変動する周期的係数を有する楕円型作用素のグリーン関数およびノイマン関数の漸近的挙動を、$\varepsilon \to 0$ の下で分析すること。
• ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす解について、$W^{1,p}$ における最適な収束速度を確立すること。
• 補正関数を用いてポアソン核およびディリクレ-ノイマン写像の漸近展開を導出すること。
• 不均質および均質化されたグリーン関数およびノイマン関数の誤差を $\varepsilon$ および領域の正則性の観点から定量的に評価すること。

提案手法

• ディリクレ補正子 $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}$ を導入し、$\mathcal{L}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = 0$ を $\Omega$ 内で満たし、$\partial\Omega$ 上で $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta} = P_j^\beta$ となるように定義する。
• ノイマン補正子 $\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}$ を導入し、$\mathcal{L}_{\varepsilon}(\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = 0$ を $\Omega$ 内で満たし、$\partial\Omega$ 上で正則微分 $\partial/\partial\nu_\varepsilon(\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = \partial/\partial\nu_0(P_j^\beta)$ となるように定義する。
• 補正子を用いて $G_\varepsilon(x,y)$ および $N_\varepsilon(x,y)$ の漸近展開を構成し、$G_0(x,y)$ に $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}$ および $\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}$ を含む補正項を加えた形で表現する。
• 重み付き $L^p$ 評価およびカールソン測度の境界を用いて、展開における誤差項を制御する。
• 双対性およびグリーンの公式を用いて、ディリクレ-ノイマン写像 $\Lambda$ を含む交換子を推定し、勾配誤差を制御する上で重要となる。
• ダールベルク、ケニグなどによる非接線的最大関数およびBMOノルムに関する既知の評価を用いて、高階項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 迅速に変動する楕円型作用素のグリーン関数およびノイマン関数は、$\varepsilon \to 0$ の下でどのようにその均質化された対応物に収束するか？
• RQ2 ディリクレまたはノイマン境界条件を満たす解について、$W^{1,p}$ における最適な収束速度は何か？
• RQ3 補正関数を用いて、グリーン関数およびノイマン関数、およびその勾配の漸近展開をどのように構成できるか？
• RQ4 領域の正則性（$C^{1,1}$ 対 $C^{2,\eta}$）および対称性（$A^* = A$）は収束速度にどのように寄与するか？
• RQ5 均質化の文脈において、$[\Lambda, x_i]$ の $L^p$ 評価を鋭く導出できるか？

主な発見

• $C^{1,1}$ 域では、$|G_\varepsilon(x,y) - G_0(x,y)| \leq C\varepsilon / |x-y|^{d-1}$ が成り立ち、グリーン関数の $O(\varepsilon)$ 収束を確立する。
• $C^{2,\eta}$ 域では、グリーン関数の勾配に対して $\left|\partial_{x_i}G_\varepsilon^{\alpha\beta} - \partial_{x_i}\Phi_{\varepsilon,j}^{\alpha\gamma} \cdot \partial_{x_j}G_0^{\gamma\beta}\right| \leq C\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2)/|x-y|^d$ が成り立つ。
• 対称性（$A^* = A$）のもとでは、$C^{1,1}$ 域でノイマン関数に対して $|N_\varepsilon(x,y) - N_0(x,y)| \leq C\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2)/|x-y|^{d-1}$ が成り立つ。
• $C^{2,\eta}$ 域および $t \in (0,1)$ に対して、ノイマン関数の勾配に対して $\left|\partial_{x_i}N_\varepsilon^{\alpha\beta} - \partial_{x_i}\Psi_{\varepsilon,j}^{\alpha\gamma} \cdot \partial_{x_j}N_0^{\gamma\beta}\right| \leq C_t \varepsilon^t \ln(\varepsilon^{-1}M+2)/|x-y|^{d-1+t}$ が成り立つ。
• これらの結果は、$1 < p \leq \infty$ に対して、ディリクレまたはノイマンデータを有する解について、$L^p(\Omega)$ で $O(\varepsilon)$ 収束を示唆する。
• 本稿は、勾配誤差を制御するために不可欠な、重要な交換子評価 $\|\Lambda(fg) - f\Lambda(g)\|_{L^2(\partial\Omega)} \leq C\|f\|_{H^1(\partial\Omega)}\|g\|_{L^\infty(\partial\Omega)}$ を証明する。