[論文レビュー] Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients

Mark Dorodnyi, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ 上の自己共役で2階の周期的微分作用素の平方根のコサインについて、振動係数を有する双曲型方程式に焦点を当て、作用素誤差推定を確立する。スペクトル理論とフロケ＝ブロッホ分解を用いて、$O(\varepsilon)$ の誤差を伴う $(H^s \to L_2)$-ノルム近似を導出し、音響学および弾性体系に応用可能である。

ABSTRACT

In $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ we consider selfadjoint strongly elliptic second order differential operators ${\mathcal A}_\varepsilon$ with periodic coefficients depending on ${\mathbf x}/ \varepsilon$, $\varepsilon>0$. We study the behavior of the operator cosine $\cos( {\mathcal A}^{1/2}_\varepsilon τ)$, $τ\in \mathbb{R}$, for small $\varepsilon$. Approximations for this operator in the $(H^s o L_2)$-operator norm with a suitable $s$ are obtained. The results are used to study the behavior of the solution ${\mathbf v}_\varepsilon$ of the Cauchy problem for the hyperbolic equation $\partial^2_τ{\mathbf v}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon {\mathbf v}_\varepsilon +\mathbf{F}$. General results are applied to the acoustics equation and the system of elasticity theory.

研究の動機と目的

• 周期的係数を有する双曲型方程式に対して、$\varepsilon \to 0$ のときの作用素コサイン $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の漸近的挙動を分析すること。
• 均質化された対応物による $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の近似に対する $(H^s \to L_2)$-位相における作用素ノルム誤差推定を導出すること。
• 双曲型方程式 $\partial_\tau^2 \mathbf{v}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon + \mathbf{F}$ のコーシー問題に結果を適用し、解の収束を保証すること。
• 音響方程式や線形弾性体系を含む物理的モデルで理論を検証すること。
• 関連するフロケ＝ブロッホ作用素のスペクトル解析を通じて、誤差推定の鋭さを確立すること。

提案手法

• 準動量 $\boldsymbol{\theta}$ をパrameterとするファイバー作用素の族に作用素 $\mathcal{A}_\varepsilon$ を分解するためのフロケ＝ブロッホ理論に基づくスペクトル的アプローチを用いる。
• 作用素を均質化に適した形に変換するための因数分解 $\mathcal{A}_\varepsilon = f^\varepsilon^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) f^\varepsilon$ を採用する。
• 解析的摂動論を用いて、リゾルベントおよび半群の収束を研究し、関数計算を介してコサイン作用素へ拡張する。
• $L_2$ ノルムおよびソボレフノルムにおける元の作用素と有効作用素の差を分析することで誤差推定を導出する。この際、1次補正項を組み込む。
• 定数の有効行列 $g^0$ を体積平均により計算した $\mathcal{A}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$ を有効作用素として定義する。
• ブロッホファイバー作用素 $\widehat{N}(\boldsymbol{\theta})$ のスペクトルを解析し、臨界点 $\boldsymbol{\theta}^{(j)}$ における非ゼロ固有値の確認により、推定の鋭さを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\varepsilon \to 0$ のとき、$(H^s \to L_2)$-作用素ノルムにおける $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の収束速度は何か？
• RQ2 ソボレフ空間 $H^s$ における初期データの正則性は、双曲型コサイン作用素の誤差推定にどのように依存するか？
• RQ3 楕円型および放物型問題に用いられる作用素論的均質化フレームワークを、周期的係数を有する双曲型方程式へ拡張可能か？
• RQ4 $(H^s \to L_2)$-ノルムにおける双曲型コサイン作用素の $O(\varepsilon)$ 誤差推定の鋭さは何か？
• RQ5 結果は、音響方程式や周期的媒体における線形弾性体系といった具体的な物理系にどのように適用可能か？

主な発見

• $(H^s \to L_2)$-作用素ノルムにおいて、作用素コサイン $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ は $\cos(\mathcal{A}^{0,1/2}\tau)$ に $O(\varepsilon)$ の誤差で収束する。ただし $0 \leq s \leq 3/2$ である。
• コーシー問題 $\partial_\tau^2 \mathbf{v}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{v}_\varepsilon + \mathbf{F}$ に対して、解 $\mathbf{v}_\varepsilon$ は誤差 $\|\mathbf{v}_\varepsilon - \mathbf{v}_0\|_{L_2} \leq \varepsilon^{2s/3} \left( \widehat{\mathfrak{C}}_3(s;\tau) \|\boldsymbol{\phi}\|_{H^s} + \widehat{\mathfrak{C}}_4(s;\tau) \|\boldsymbol{\psi}\|_{H^s} \right)$ を伴い、均質化解 $\mathbf{v}_0$ に収束する。
• 誤差推定は鋭い：ブロッホファイバー作用素 $\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}^{(j)})$ の非ゼロ固有値 $\pm \widehat{\mu} \approx \pm 0.0985$ が、$O(\varepsilon)$ のレートが向上できないことを確認する。
• ヒル体（定数のせん断弾性率を有する等方的弾性体）では、有効行列 $g^0_{\wedge}$ が平均 $\underline{g_{\wedge}}$ と一致し、$\widehat{N}(\boldsymbol{\theta}) = 0$ のとき $L_2$-ノルムにおいて誤差推定が $O(\varepsilon^2)$ に改善される。
• 近似における補正項は、周期的境界値問題の解 $\Lambda_{22}$ から導出され、$\arctan$ および複素対数関数項を含む明示的表現を有する。
• 結果は音響方程式および線形弾性体系へ拡張可能であり、この場合 $\mathcal{A}_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D})$ の因数分解が直接適用可能であり、均質化作用素は明示的に計算可能である。