[論文レビュー] Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients in ${\mathbb R}^d$: sharpness of the results

Mark Dorodnyi, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

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ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ における周期的係数を有する双曲型方程式の均質化に関して、作用素ノルムの鋭い推定式を確立する。$H^s \to L^2$ および $H^s \to H^1$ ノルムにおいて、$\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ および $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の近似について、$\varepsilon$ および $\tau$ に明示的な誤差項を含めた推定が得られる。これらの推定の作用素型および $\tau$ 依存性の鋭さが証明され、$\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$ の初期値問題に応用され、音響学および弾性力学への応用が含まれる。

ABSTRACT

In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, a selfadjoint strongly elliptic second order differential operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ is considered. It is assumed that the coefficients of the operator ${\mathcal A}_\varepsilon$ are periodic and depend on ${\mathbf x}/\varepsilon$, where $\varepsilon >0$ is a small parameter. We find approximations for the operators $\cos ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ and ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the norm of operators acting from the Sobolev space $H^s({\mathbb R}^d)$ to $L_2({\mathbb R}^d)$ (with suitable $s$). We also find approximation with corrector for the operator ${\mathcal A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( {\mathcal A}_\varepsilon^{1/2}τ)$ in the $(H^s o H^1)$-norm. The question about the sharpness of the results with respect to the type of the operator norm and with respect to the dependence of estimates on $τ$ is studied. The results are applied to study the behavior of the solutions of the Cauchy problem for the hyperbolic equation $\partial_τ^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - {\mathcal A}_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.

研究の動機と目的

• $H^s \to L^2$ および $H^s \to H^1$ 作用素ノルムにおける $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ および $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の近似の鋭い作用素ノルム推定式を導出すること。
• 作用素ノルムの種別および時間パラメータ $\tau$ 依存性に関して、これらの推定の鋭さを分析すること。
• 2階双曲型方程式の周期的係数を有する初期値問題に結果を応用し、解の収束速度を確立すること。
• 因数分解された作用素形式を介して、音響方程式および弾性力学系といった特定の物理系への拡張を図ること。

提案手法

• 周期的微分作用素のフロケ＝ブロッホ理論および解析的摂動論に基づくスペクトル的アプローチを用いる。
• 因数分解フレームワークを採用：$\mathcal{A}_\varepsilon = f^\varepsilon^* b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D}) f^\varepsilon$、ここで $g^\varepsilon$ は周期的で、$f^\varepsilon$ は有界かつ可逆である。
• 作用素論的技法を用いて、$\cos(\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$ および $A(t)^{-1/2}\sin(\varepsilon^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$ の近似を導出する。
• $H^1$ ノルム近似の収束速度を向上させるために補正項を導入し、特に $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ に対して有効である。
• 均質化作用素 $\mathcal{A}^0 = b(\mathbf{D})^* g^0 b(\mathbf{D})$ を用いて、有効作用素 $\mathcal{A}^0$ に適用する。ここで $g^0$ は $g(\mathbf{x})$ の調和平均である。
• 立ち止まった位相法およびスペクトル射影を用いて、$\varepsilon$ および $\tau$ に関する鋭い境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H^s \to L^2$ および $H^s \to H^1$ 作用素ノルムにおける $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ および $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の近似の最適収束速度は何か？
• RQ2 時間パラメータ $\tau$ への依存性は、作用素ノルムにおける誤差推定の鋭さにどのように影響するか？
• RQ3 導出された誤差推定は、作用素ノルムの種別（例：$L^2 \to L^2$ 対 $H^s \to H^1$）に関して鋭いか？
• RQ4 因数分解された作用素構造を介して、音響方程式および弾性力学方程式といった物理系へ結果を拡張可能か？
• RQ5 補正項は $H^1$ ノルムにおける収束速度をどのように向上させるか？

主な発見

• $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ について、$(H^s \to H^1)$-ノルムにおける近似の誤差項は、$0 \leq s \leq 2$ に対して $\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2}$ のオーダーであり、$s=2$ のとき $O(\varepsilon)$ の収束率を示す。
• $\cos(\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ の $(H^s \to L^2)$-ノルムにおける近似誤差は、$0 \leq s \leq 2$ に対して $O(\varepsilon^{s/2}(1+|\tau|)^{s/2})$ である。
• 推定の鋭さが確認された：一般に、誤差項における $\varepsilon$-依存性および $\tau$-依存性は、改善不可能である。
• 初期値問題 $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = -\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon + \mathbf{F}$ に対して、すべての $\tau \in \mathbb{R}$ において $\varepsilon \to 0$ のとき $\mathbf{u}_\varepsilon$ は均質化解 $\mathbf{u}_0$ に $L^2$ ノルムで収束する。
• 補正項 $\mathbf{v}_\varepsilon = \mathbf{u}_0 + \varepsilon \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}) \Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0$ を用いることで、$H^1$-誤差は $C(1+|\tau|)\varepsilon \|\boldsymbol{\psi}_1\|_{H^2}$ で有界となり、$H^2$ 正則性のもとで $H^1$ で $O(\varepsilon)$ の収束が示される。
• 結果は鋭い：周期的係数の振動的性質のため、滑らかな初期データに対しても、誤差項における $\varepsilon$-依存性をさらに改善することは不可能である。