[論文レビュー] Homogenization of random convolution energies in heterogeneous and perforated domains

Andrea Braides, Andrey Piatnitski|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不均質で穿孔のある領域における確率的畳み込みエネルギーの均質化定理を確立し、ほとんど確実に決定論的で二次的ディリクレ型汎関数に $Γ$-収束することを証明する。極限汎関数の被積分関数は、劣加プロセスから導かれる漸近的公式によって特徴付けられ、エルゴード性と定常性の仮定の下で、局所的均質化技法を非局所的で漸近的に局所的な設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove a homogenization theorem for a class of quadratic convolution energies with random coefficients. Under suitably stated hypotheses of ergodicity and stationarity we prove that the $Γ$-limit of such energy is almost surely a deterministic quadratic Dirichlet-type integral functional, whose integrand can be characterized through an asymptotic formula. The proof of this characterization relies on results on the asymptotic behaviour of subadditive processes. The proof of the limit theorem uses a blow-up technique common for local energies, that can be extended to this `asymptotically-local' case. As a particular application we derive a homogenization theorem on random perforated domains.

研究の動機と目的

• 不均質で穿孔のある領域におけるエルゴード的かつ定常的な係数を有する確率的畳み込みエネルギーの $Γ$-極限を確立すること。
• 劣加プロセスから導かれる漸近的公式を用いて、均質化エネルギー密度を特徴付けること。
• 局所エネルギーに一般的に用いられるブロー・アップ技法を、非局所的で漸近的に局所的な畳み込み汎関数へと拡張すること。
• 相互作用がランダムな連結成分内でのみ発生するランダム穿孔領域に定義されたエネルギーの均質化結果を導出すること。
• このような確率的エネルギーの $Γ$-極限がほとんど確実に決定論的で二次的ディリクレ型積分汎関数に収束する条件を示すこと。

提案手法

• スケーリングされた畳み込みエネルギーの極限を分析するため、$L^2(D)$位相における $Γ$-収束を用いる。
• 非局所エネルギーの漸近的に局所的な構造を活用することで、非局所エネルギーに適応したブロー・アップ技法を適用する。
• 均質化エネルギー密度を特徴付けるために、大スケール平均を含む二尺度極限を用いた劣加プロセス理論を用いる。
• 環境の定常性とエルゴード性をモデル化するため、確率空間上のランダムな力学系 $(\tau_x)$ を用いる。
• 穿孔領域におけるエネルギーを制御するため、エネルギーの増加が有界であるように全領域に関数を拡張する拡張定理（定理 7.2）を適用する。
• 境界層の厚さが $K$ である大きな立方体 $Q_R$ 上での変分公式により、均質化行列 $A_{\text{hom}}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不均質領域におけるエルゴード的かつ定常的な係数を有する確率的畳み込みエネルギーの $Γ$-極限は何か？
• RQ2 相互作用カーネルが非局所的で媒質がランダムである場合、均質化エネルギー密度はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 局所エネルギーに用いられるブロー・アップ法を、ランダム係数を有する非局所的畳み込みエネルギーへと拡張可能か？
• RQ4 相互作用が連結成分内でのみ発生するランダム穿孔領域に定義されたエネルギーの均質化極限は何か？
• RQ5 このような確率的エネルギーの $Γ$-極限が、ほとんど確実に決定論的で二次的ディリクレ型汎関数に収束する条件は何か？

主な発見

• 関数 $F^{ω}_{\varepsilon}(u)$ の $Γ$-極限は、$H^1(D)$ 上でほとんど確実に決定論的で二次的ディリクレ型積分汎関数である。
• 均質化エネルギー密度は行列 $A_{\text{hom}}$ によって特徴付けられ、その二次形式は $\langle A_{\text{hom}}z,z\rangle = \lim_{K\to\infty}\lim_{R\to\infty}\frac{1}{R^d}\inf\left\{\int_{Q_R\cap E^{\omega}}\int_{E^{\omega}}a(x-y)(v(x)-v(y))^2\,dx\,dy : v(x)=\langle z,x\rangle \text{ near }\partial Q_R \right\}$ で与えられる。
• エルゴード性と定常性の仮定のおかげで、極限はほとんど確実にランダム実現 $\omega$ に依存しない。
• ランダム穿孔領域におけるエネルギーは、一様な拡張推定式（定理 7.2）を満たし、エネルギーの増加が有界であるように全領域への拡張によって制御可能である。
• 積分可能性条件 $\int_{\mathbb{R}^d} a(\xi)(1+|\xi|^2)\,d\xi < \infty$ および $|\xi| \leq r_0$ に対して $a(\xi) \geq c > 0$ の下界が成り立つ場合に、均質化結果が成立する。
• 収束は $L^2(D)$ 位相で確立され、極限汎関数は $H^1(D)$ 上で連続的かつ強制的である。