[論文レビュー] Homogenization of the Oscillating Dirichlet Boundary Condition in General Domains

William M. Feldman|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般の滑らかな有界領域における、演算子およびディリクレ境界条件の両方に周期的振動を示す完全非線形楕円型方程式の均質化を確立する。部分境界データを用いた新規な比較原理を用いて、解の局所一様収束を示したが、これは同調化境界データが不連続であっても成り立つ。半空間からの先行結果を、演算子に関する最小限の仮定の下で一般領域へと拡張する。

ABSTRACT

We prove the homogenization of the Dirichlet problem for fully nonlinear elliptic operators with periodic oscillation in the operator and of the boundary condition for a general class of smooth bounded domains. This extends the previous results of Barles and Mironescu in half spaces. We show that homogenization holds despite a possible lack of continuity in the homogenized boundary data. The proof is based on a comparison principle with partial Dirichlet boundary data which is of independent interest.

研究の動機と目的

• 半空間から一般の滑らかな有界領域への、周期的境界条件を有するディリクレ問題の均質化を拡張すること。
• 同調化境界データが不連続であっても、解の収束が均質化極限問題へと成立することを確立すること。
• 部分境界データを用いた比較原理を用いて、同調化解の存在および一意性を証明すること。
• 同調化境界データが連続となる条件を特定すること、特にハウスドルフ次元が小さい集合を除いて。

提案手法

• 境界点付近でのブロー・アップ解析により、半空間におけるセル問題を導出し、境界付近での解の局所的挙動をモデル化する。
• セル問題の解の漸近的極限として、法線方向および演算子の周期的構造に依存する同調化境界データを定義する。
• 部分境界データを用いた比較原理を用いて、近似解の上および下の緩和極限を制御する。
• 領域の正則性および演算子と法線の収束を活用して、全測度の残渣集合上で同調化境界データが連続であることを確立する。
• バリア法および緩和極限を用いて、解の上および下の極限が内部で一致することを示し、これにより局所一様収束が得られる。
• 完全非線形演算子の内部均質化結果を活用して、境界から離れた領域における挙動を同調化方程式と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般領域における完全非線形楕円型方程式のディリクレ問題について、演算子および境界条件に周期的振動が存在する場合、同調化境界データが不連続であっても均質化が成立するか？
• RQ2 境界データが微小スケールで振動する場合、部分境界データを用いた比較原理を用いて収束を確立できるか？
• RQ3 領域および演算子にどのような条件を課すと、同調化境界データがほとんどすべての境界点で連続となるか？
• RQ4 特に法線ベクトルおよび接線微分の幾何的性質が、同調化境界条件の連続性にどのように影響するか？
• RQ5 類似の技術を用いて、周期的ノイマン境界条件への結果の拡張はどの程度可能か？

主な発見

• 解 $ u^\varepsilon $ は、同調化境界データ $ \overline{g} $ が不連続であっても、$ \Omega $ 内で局所一様に極限 $ \overline{u} $ に収束する。
• 同調化境界データ $ \overline{g}(x) = \overline{\mu}(g(x,\cdot), F^x, \nu_x) $ は、$ \Gamma $ をハウスドルフ次元が $ \beta_0 $ 未満である集合として、すべての点 $ x \in \partial\Omega \setminus \Gamma $ で連続である。
• 収束は、部分境界データを用いた比較原理によって確立され、これは主結果とは独立した重要な技術的貢献である。
• 境界層効果が $ R $ および $ \eta $ の選択によって制御されることにより、$ u^\varepsilon $ の上および下の緩和極限が $ \Omega $ 内で一致し、局所一様収束が得られる。
• 証明はバリア構成および、等連続性が存在しない状況下でも安定な粘性解の収束性に依存している。
• バールスおよびミロネスクによる半空間での先行研究を一般領域へと一般化し、回転不変性や同調化境界データの連続性仮定を不要とした。