[論文レビュー] Homogenization of the Schroedinger equation with large, random potential

Ningyao Zhang, Guillaume Bal|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次元（$d > \mathfrak{m}$）における大きな、急速に振動する、平均値が0の確率的ポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式の均質化を確立し、相関長 $\varepsilon \to 0$ のとき、解が時間に一様に $L^2$ で確定的極限に収束することを示している。この結果は、短時間の均質化を長時間に拡張するために、洗練されたデュハメル展開とグラフに基づく散乱解析を用いて得られ、熱方程式に対する先行結果をユニタリなシュレーディンガー設定に一般化している。

ABSTRACT

We study the behavior of solutions to a Schr{ö}dinger equation with large, rapidly oscillating, mean zero, random potential with Gaussian distribution. We show that in high dimension $d>\mathfrak{m}$, where $\mathfrak{m}$ is the order of the spatial pseudo-differential operator in the Schr{ö}dinger equation (with $\mathfrak{m}=2$ for the standard Laplace operator), the solution converges in the $L^2$ sense uniformly in time over finite intervals to the solution of a deterministic Schr{ö}dinger equation as the correlation length $\varepsilon$ tends to 0. This generalizes to long times the convergence results obtained for short times and for the heat equation. The result is based on a careful decomposition of multiple scattering contributions. In dimension $d

研究の動機と目的

• シュレーディンガー方程式の枠組みにおいて、確率的ポテンシャルの均質化結果を短時間から長時間へと拡張すること。
• 高次元（$d > \mathfrak{m}$）における、大きな、急速に振動する、平均値が0のガウス確率的ポテンシャルを伴う解が、確定的効果方程式に収束することを確立すること。
• 放射線輸送理論から着想を得た散乱グラフの総和技法を適用することで、従来のデュハメルベースの手法の時間スケール制限を克服すること。
• 空間次元 $d$ と作用素の次数 $\mathfrak{m}$ の相対関係に基づいて、均質化極限における確率的から確定的への中間的挙動の遷移を特定すること。

提案手法

• 周波数領域におけるデュハメル級数展開を用いて、解を複数回の散乱事象の和として表現する。
• 散乱寄与を[2]と同様の3種類に分類するグラフベースの分解を適用し、最初の $n_0$ 項の $L^2$ ノルムを推定する。
• [6]にインspiredされた時間区間分割技法を用いて、長時間における誤差項を制御し、直接的な無限級数推定に代える。
• スペクトルおよびフーリエ解析を用いて、パワー スペクトル $\hat{R}$ と記号 $|\xi|^\mathfrak{m}$ を含むリゾルベント型積分を評価する。
• 複素解析技法を用い、$z$ に依存するリゾルベント $Y_z\hat{R}$ の有界性を保証することで、周波数領域における特異性を制御する。
• 収束を保証するため、$\hat{R}$（例：$\hat{R} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$）および初期データ（$\hat{u}_0(\xi)\langle\xi\rangle^{6d} \in L^2$）に正則性および減衰条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな、確率的で、平均値が0のポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式の解は、長時間領域において確定的極限に収束するか？
• RQ2 デュハメル展開法は、短時間領域を超えてシュレーディンガー設定における長時間均質化を達成できるか？
• RQ3 $\mathfrak{m}$ に対して相対的に、解が確定的効果方程式に収束する臨界次元 $d$ は何か？
• RQ4 確率的ポテンシャルの相関関数 $R(x)$ の構造は、均質化極限にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 次元 $d > \mathfrak{m}$ の場合、解 $u_\varepsilon(t)$ は時間 $t \in (0,T)$ に対して一様に $L^2(\Omega \times \mathbb{R}^d)$ で収束し、$\varepsilon \to 0$ のとき、確定的シュレーディンガー方程式の解に収束する。
• 均質化方程式における効果的ポテンシャルは $\rho = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{\hat{R}(\xi)}{|\xi|^\mathfrak{m}} d\xi$ で与えられ、$\hat{R}$ の減少性および滑らかさの仮定のもとで有限である。
• 収束は任意の有限区間 $(0,T)$ において時間に一様であり、[2]のような先行研究の短時間制限を克服している。
• 本手法は、洗練された散乱グラフの総和と時間区間分解に依存しており、散乱項の数の指数的増加を制御可能である。
• 次元 $d < \mathfrak{m}$ の場合、極限は確率的PDEとなることから、臨界次元 $\mathfrak{m} = d$ で挙動に相転移が生じることが示唆される。
• $\mathfrak{m} = d$ の場合、放物型ケースとの比較に基づき、対数補正を除けば極限が確定的であると予想される。