[論文レビュー] Homogenization of the Vlasov Equation and of the Vlasov - Poisson System with a Strong External Magnetic Field

Emmanuel Frénod, Éric Sonnendrücker|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 67

ひとこと要約

この論文は、2スケール収束を用いて、強い外部磁場下におけるVlasov方程式およびVlasov-Poisson方程式の厳密な均質化フレームワークを構築する。粒子分布が、磁場線まわりの高速回転が平均化された、ガイド中心運動を記述する極限方程式に収束することを証明し、自己自己場が平均粒子運動と整合的であることを示す。

ABSTRACT

Motivated by the difficulty arising in the numerical simulation of the movement of charged particles in presence of a large external magnetic field, which adds an additional time scale and thus imposes to use a much smaller time step, we perform in this paper a homogenization of the Vlasov equation and of the Vlasov-Poisson system which yield approximate equations describing the mean behavior of the particles. The convergence proof is based on the two scale convergence tools introduced by N'Guetseng and Allaire. We also consider the case where, in addition to the magnetic field, a large external electric field orthogonal to the magnetic field and of the same magnitude is applied.

研究の動機と目的

• 粒子法（PIC）シミュレーションにおける強い外部磁場がもたらす剛性な時間スケールに起因する数値的課題に対処すること。
• 粒子の高速回転運動を除外し、平均的挙動を捉える簡略化された、漸近的に整合性のある系を導出すること。
• Vlasov-Poisson系における粒子間の相互作用が、追加の補正項を含まずに、唯一ガイド中心運動の項として表現可能であることを厳密に示すこと。
• 古典的なガイド中心近似を単一粒子系に限らず、Vlasov-Poisson系の運動論的・非線形的設定へと拡張すること。

提案手法

• N’GuetsengおよびAllaireが導入した2スケール収束技法を適用し、磁場強度ε⁻¹ → ∞ となる極限におけるVlasov方程式の極限を分析する。
• 一定の外部磁場 B^ε = B + M/ε を有するVlasov方程式を検討する。ここで M は単位ベクトルである。
• L∞(0,T;L²(Ω)) における弱-*収束および2スケール収束を用いて、極限分布 F(t,x,v,τ) を特定する。ここで τ は高速回転位相を表す。
• 高速時間スケール τ における平均化により有効方程式を導出し、速度 v がその平行成分 v∥ に置き換えられ、運動はガイド中心運動に従うようにする。
• Aubin-Lionsの補題を用いて、ポアソン方程式からの正則性および電荷密度・電流密度の有界性を活用し、電場 E^ε が L∞(0,T;L²_loc(R³_x)) で強い収束することを確立する。
• 電荷密度 ρ^ε および電流密度 J^ε が2スケール収束することを示し、極限における電荷密度が高速時間スケール τ に依存しないことから、平均場近似と整合的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強磁場下におけるVlasov-Poisson系において、2スケール収束を用いて粒子の高速回転を厳密に平均化できるか？
• RQ2 Vlasov-Poisson系における粒子間の非線形結合は、極限において補正項を含まずにガイド中心近似を保つのか？
• RQ3 磁場強度が無限大に近づく極限において、自己自己場はどのように振る舞うか？
• RQ4 2スケール収束技法を用いて、Vlasov-Poisson系に対して整合的なグライドキン型方程式を導出できるか？
• RQ5 極限における電場および粒子分布の強収束を保証するためには、どのような正則性および収束性の性質が必要か？

主な発見

• 強い磁場下でのVlasov方程式の解 f^ε は、L∞(0,T;L²(Ω)) で弱-*収束し、極限 f が速度の平行成分 v∥ のみを含む簡略化された方程式を満たす。
• 極限分布 f の初期条件は、磁場方向まわりの高速回転による平均化により与えられ、f(0) = (1/(2π)) ∫₀²π f₀(x, u(v,τ)) dτ となる。
• Aubin-Lionsの補題によるコンパクト埋め込みにより、L∞(0,T;L²_loc(R³_x)) における電場 E^ε の強い収束が実現され、これは W¹,⁷/⁵ での有界性および時間微分が L∞(0,T;L⁷/⁶) に属することに起因する。
• 電荷密度 ρ^ε は2スケール収束し、極限 ρ̄ は高速時間スケール τ に依存しない。これは、平均密度に振動的補正項がないことを示す。
• 電流密度 J^ε は2スケール収束し、極限 J̄ も τ に依存しない。これにより、平均場ダイナミクスの整合性が保証される。
• 得られた有効方程式は、極限 f に対してガイド中心方程式 ∂f/∂t + v∥·∇ₓf + (E∥ + v×B∥)·∇ᵥf = 0 となる。これは、磁場線に沿った平均運動と、平均化された回転効果を記述する。