[論文レビュー] Homogenization Techniques for Periodic Structures

Sébastien Guenneau, Richard V. Craster+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、光工学格子やメタマテリアルなどの周期的構造物に対して、古典的、高周波、高対比の均質化手法を発展させる。これらの手法により、人工磁性や負の屈折率といった有効な材料特性の導出が可能となり、波長未満の周期性を持つ周期的グレーティングにおけるスーパーレンズ効果や透明クローキングの応用が実現可能となる。

ABSTRACT

In this chapter we describe a selection of mathematical techniques and results that suggest interesting links between the theory of gratings and the theory of homogenization, including a brief introduction to the latter. By no means do we purport to imply that homogenization theory is an exclusive method for studying gratings, neither do we hope to be exhaustive in our choice of topics within the subject of homogenization. Our preferences here are motivated most of all by our own latest research, and by our outlook to the future interactions between these two subjects. We have also attempted, in what follows, to contrast the "classical" homogenization (Section 11.1.2), which is well suited for the description of composites as we have known them since their advent until about a decade ago, and the "non-standard" approaches, high-frequency homogenization (Section 11.2) and high-contrast homogenization (Section 11.3), which have been developing in close relation to the study of photonic crystals and metamaterials, which exhibit properties unseen in conventional composite media, such as negative refraction allowing for super-lensing through a flat heterogeneous lens, and cloaking, which considerably reduces the scattering by finite size objects (invisibility) in certain frequency range. These novel electromagnetic paradigms have renewed the interest of physicists and applied mathematicians alike in the theory of gratings.

研究の動機と目的

• 周期的マイクロ構造のための数学的枠組みを構築することで、グレーティング理論と均質化理論を橋渡しすること。
• 古典的均質化が失敗する高対比または高周波領域における標準的仮定の限界を克服すること。
• 漸近的およびスペクトル的手法を用いて、周期的複合材料における人工磁性および負の屈折率の予測を可能にすること。
• メタマテリアルおよび光工学格子における有効な電磁気的挙動をモデル化する厳密な数学的ツールを提供すること。
• 解の列のコンactnessが成立しない非標準的領域への均質化の拡張を図り、新たな物理現象の解明を可能にすること。

提案手法

• 微小周期性 η → 0 を有する周期的媒体の有効方程式を導出するために、多重スケール漸近展開を用いる。
• スカラー波および横電磁波に対する高周波均質化を適用し、バンドギャップ構造および共鳴的挙動を捉える。
• 2スケール収束法および周期的アンフォールディングを用いて、周期的構造における極限問題を分析する。
• セル問題のスペクトル解析を用いて、キルホッフ＝ラヴ板および電磁波の有効方程式を導出する。
• チジコフの枠組みを用いて高対比均質化を導入し、誘電率の大きな対比を有する系をモデル化する。
• 固有関数展開を用いて有効磁性を計算し、単位セルにおける奇数 (n,m) モードの和をとり、(11.44) を用いて μ_hom(k) を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的均質化は、周期的マイクロ構造繊維や1次元グレーティングを記述するためにどのように適合可能か？
• RQ2 高対比周期的複合材料の有効な電磁的特性は何か？ そして、それらはどのように負の屈折率を引き起こすか？
• RQ3 周期的グレーティングにおける人工磁性が現れる周波数範囲は何か？ そして、それはどのように定量化されるか？
• RQ4 高周波均質化は、周期的構造物におけるバンドギャップ挙動および共鳴モードをどのように捉えるか？
• RQ5 均質化手法は、周期的メタマテリアルにおけるスーパーレンズ効果およびクローキング効果をどの程度正確に予測可能か？

主な発見

• 相対誘電率 100、辺長 a = 0.5d の正方形配列インクルージョンにおいて、周波数範囲 [0.432, 0.534] で有効磁性 μ_hom(k) が負値を示し、負の屈折率が実現可能である。
• 有効磁性が (11.44) で与えられる (11.40) の均質化方程式は、スーパーレンズ効果を予測する：ω = 0.473 の時空間調和源が正方形配列インクルージョンを通じて焦点像を生成する。
• 高対比均質化モデルでは、不等式 (11.43) で示されるように、ω = 0 の近くに低周波数バンドギャップが開く。これは古典的モデルとは区別される。
• 高次の均質化により、周期的グレーティングの多くが、波長と周期が同等に近い場合に人工磁性およびキラリティを示すことが判明した。
• コンパクトネスの補正または2スケール収束法を適用しない限り、高対比領域における有効媒質記述は破綻する。
• 式 (11.44) を用いた μ_hom(k) の数値計算により、共鳴付近で負の有効磁性が確認され、スーパーレンズ応用における理論的予測の妥当性が裏付けられた。