[論文レビュー] Homogenization with fractional random fields

Johann Gehringer, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、長-range相関を持つ分数確率場によって駆動される遅い-速い系の均質化定理を、粗いパス理論を用いて確立する。非マルコフ的かつ自己相似的なノイズを取り扱うために、粗いパス理論が用いられる。有効な力学は、混合伊藤積分とヤング積分によって駆動される粗い確率微分方程式として記述され、強い Hölder 範数における粗いパス位相での拡張関数極限定理を用いて収束が証明される。

ABSTRACT

We consider a system of differential equations in a fast long range dependent random environment and prove a homogenization theorem involving multiple scaling constants. The effective dynamics solves a rough differential equation, which is `equivalent' to a stochastic equation driven by mixed Itô integrals and Young integrals with respect to Wiener processes and Hermite processes. Lacking other tools we use the rough path theory for proving the convergence, our main technical endeavour is on obtaining an enhanced scaling limit theorem for path integrals (Functional CLT and non-CLT's) in a strong topology, the rough path topology, which is given by a Hölder distance for stochastic processes and their lifts. In dimension one we also include the negatively correlated case, for the second order / kinetic fractional BM model we also bound the error.

研究の動機と目的

• 長-range相関を持つ非マルコフ的ノイズ、特に分数 Browm運動およびエルミート過程を含む系における均質化を扱う。
• 混合的またはマルコフ的環境に限らない古典的均質化理論を、Hurst 指数 H > 1/2 を持つ長-range相関を持つ確率場へと拡張する。
• 複数のスケーリング定数を伴う経路積分に関して、粗いパス位相における関数極限定理を構築する。
• 有効な力学を、混合伊藤積分とヤング積分によって駆動される粗い確率微分方程式として特徴付ける。
• 1次元および多次元系の両方において、粗いパス位相での収束を確立し、運動的分数 Browm 運動モデルにおける誤差項の上限も提示する。

提案手法

• 分数 Browm 運動およびその積分の非半マルコフ的性質を扱うために、粗いパス理論を用いる。
• Hölder 範数によるプロセスおよびそのリフトの粗いパス位相で定義される、強化されたスケーリング極限定理（関数的中心極限定理および非中心極限定理）を適用する。
• 分数オーナシュタイン-ウーレンプ過程のモーメントバウンドおよび条件付き可積分性を導出するために、Malliavin 微積分の枠組みを用いる。
• オーナシュタイン-ウーレンプ作用素を介した発散積分とスコロホド積分の双対性を用いて、均質化極限における混合項を制御する。
• スケーリング経路積分のカーネル収束と漸近的独立性を用いて、共同収束結果を適用する。
• 粗いパスリフトにおける反復積分の極限を特定することで有効な力学を導出し、伊藤積分とヤング積分を含む混合確率方程式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H > 1/2 を持つ長-range相関を持つ分数ノイズによって駆動される遅い-速い系における均質化は、どのように振る舞うか？
• RQ2 速い環境が長-range相関を持つ分数オーナシュタイン-ウーレンプ過程であるとき、極限での有効な力学は何か？
• RQ3 非マルコフ的かつ自己相似的プロセスによって駆動される経路積分について、粗いパス理論を用いて粗いパス位相での収束を確立できるか？
• RQ4 ノイズにウィーナー過程およびエルミート過程が含まれる場合、有効方程式の構造はどのようなものか？
• RQ5 スケーリング定数は、長-range相関を持つ場を伴う多スケール系の均質化極限にどのように影響するか？

主な発見

• 有効な力学は、ウィーナー過程およびエルミート過程に対する混合伊藤積分とヤング積分によって駆動される粗い確率微分方程式である。
• 強い Hölder 範数における粗いパス位相で、遅いプロセスの有効な力学への収束が証明され、経路ごとの収束が保証される。
• 1次元では、正および負の相関ケースの両方で、以前の結果を拡張した均質化結果が成立する。
• 2次/運動的分数 Browm 運動モデルにおいて、本稿は均質化近似の明示的誤差上限を提供する。
• 経路積分に関して、粗いパス位相における強化関数極限定理が確立され、モーメントバウンドを用いて反復積分のtightnessが証明される。
• 漸近的独立性の下で、粗いパスリフトの共同収束が達成され、極限プロセスは独立なウィーナー過程およびエルミート過程の積として得られる。