[論文レビュー] Homological Algebra for Diffeological Vector Spaces

Enxin Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、線形部分退化に関して射影的対象を導入することで、一般の微分可能ベクトル空間におけるホモロジー代数を構築し、完全な完全系列、Ext群、分解の枠組みを確立する。主な貢献は、短完全系列の同値類とExt¹(W,V)との間の全単射であり、Ext¹(W,V) = 0 であることは、すべてのこのような系列が滑らかに分解することと同値であることを示している。

ABSTRACT

Diffeological spaces are natural generalizations of smooth manifolds, introduced by J.M.~Souriau and his mathematical group in the 1980's. Diffeological vector spaces (especially fine diffeological vector spaces) were first used by P. Iglesias-Zemmour to model some infinite dimensional spaces in~\cite{I1,I2}. K.~Costello and O.~Gwilliam developed homological algebra for differentiable diffeological vector spaces in Appendix A of their book~\cite{CG}. In this paper, we present homological algebra of general diffeological vector spaces via the projective objects with respect to all linear subductions, together with some applications in analysis.

研究の動機と目的

• 微分可能ベクトル空間の圏にホモロジー代数を拡張すること。これは、滑らかな多様体や無限次元空間を一般化する。
• 線形部分退化に関して射影的対象であるとみなせる微分可能ベクトル空間を定義し、特徴づけること。
• 短完全系列、テンソル積、双対、分解を含むホモロジー枠組みを確立すること。
• 微分可能ベクトル空間の短完全系列がいつ分解するかを調べ、古典的ベクトル空間理論と対比すること。
• Ext¹(W,V) がゼロであることは、すべての短完全系列 0 → V → A → W → 0 が滑らかに分解することと同値であることを示すこと。

提案手法

• 微分可能ベクトル空間を、加法とスカラー倍が滑らかな写像であるような微分可能構造を備えたベクトル空間として定義する。
• 線形部分退化と誘導を、微分可能設定における全射と単射の圏論的類似物として導入する。
• 普遍性を用いて、微分可能空間上で生成される自由微分可能ベクトル空間を構成し、すべての微分可能ベクトル空間がこのような自由対象の商であることを示す。
• すべての線形部分退化に対して滑らかな持ち上げが存在する対象として射影的微分可能ベクトル空間を定義し、複数の同値な特徴づけを提供する。
• 微分可能射影分解を用いて、押し出しとコホホロジー的持ち上げを通じてExt¹(W,V)を定義する、導来圏に類似た枠組みを構築する。
• Ext¹(W,V) と微分可能ベクトル空間の圏における短完全系列の同値類の集合との間の全単射を証明し、分解はゼロ類に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能ベクトル空間の短完全系列はいつ滑らかに分解するか？
• RQ2 微分可能ベクトル空間が射影的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 Ext¹群は微分可能ベクトル空間の圏における拡張をどのように分類するか？
• RQ4 すべての微分可能ベクトル空間は自由微分可能ベクトル空間の商として実現可能か？
• RQ5 細かい微分可能ベクトル空間、自由微分可能ベクトル空間、射影的空間との関係は何か？

主な発見

• 微分可能ベクトル空間の圏は完全かつコ完全であり、集合圏における基底集合を備えたすべての極限と余極限を備える。
• すべての微分可能ベクトル空間は、微分可能空間によって生成される自由微分可能ベクトル空間の商であるが、すべての空間が自由であるとは限らない。
• 微分可能ベクトル空間の短完全系列が滑らかに分解することは、そのExt¹(W,V)における類がゼロであることと同値である。
• 微分可能ベクトル空間の圏には十分な射影的対象が存在し、射影的分解の存在を保証する。
• 細かい微分可能ベクトル空間は射影的であり、Frölicher的である。自由微分可能ベクトル空間が細かいことは、生成空間が離散的であることと同値である。
• Ext¹群は滑らかな拡張を分類する：Ext¹(W,V) = 0 であることは、すべての短完全系列 0 → V → A → W → 0 が滑らかに分解することと同値である。