[論文レビュー] Homological Description of the Quantum Adiabatic Evolution With a View Toward Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、モース理論と微分幾何学を用いて、量子断熱的遷移のための新しい位相的枠組みを提示する。その結果、ハミルトニアンから導かれるコバーディズムの特異的ホモロジーが断熱的遷移を支配することを示している。主な貢献は、pスピン模型における量子相転移を、臨界点のホモトピー的変形とガウス・ボンネの定理による曲率再分配に関連付けることである。非ストーカスティックな結合項が臨界点の対を増加させ、曲率を広く分散させることで、一次相転移が抑制されることを説明している。

ABSTRACT

We import the tools of Morse theory to study quantum adiabatic evolution, the core mechanism in adiabatic quantum computations (AQC). AQC is computationally equivalent to the (pre-eminent paradigm) of the Gate model but less error-prone, so it is ideally suitable to practically tackle a large number of important applications. AQC remains, however, poorly understood theoretically and its mathematical underpinnings are yet to be satisfactorily identified. Through Morse theory, we bring a novel perspective that we expect will open the door for using such mathematics in the realm of quantum computations, providing a secure foundation for AQC. Here we show that the singular homology of a certain cobordism, which we construct from the given Hamiltonian, defines the adiabatic evolution. Our result is based on E. Witten's construction for Morse homology that was derived in the very different context of supersymmetric quantum mechanics. We investigate how such topological description, in conjunction with Gauß-Bonnet theorem and curvature based reformulation of Morse lemma, can be an obstruction to any computational advantage in AQC. We also explore Conley theory, for the sake of completeness, in advance of any known practical Hamiltonian of interest. We conclude with the instructive case of the ferromagnetic $p-$spin where we show that changing its first order quantum transition (QPT) into a second order QPT, by adding non-stoquastic couplings, amounts to homotopically deform the initial surface accompanied with birth of pairs of critical points. Their number reaches its maximum when the system is fully non-stoquastic. In parallel, the total Gaussian curvature gets redistributed (by the Gauß--Bonnet theorem) around the new neighbouring critical points, which weakens the severity of the QPT.

研究の動機と目的

• 断熱的量子計算（AQC）の明確な数学的基盤を確立すること。AQCは実用的利点を有するが、現在のところ深い理論的基盤に欠けている。
• トポロジーと微分幾何学——特にモース理論と微分幾何学——が、有限次元量子系における断熱的遷移を記述・定量的に記述できるかを調査すること。
• 臨界点、勾配フロー、曲率がAQCハミルトニアンの計算効率と相転移行動を決定する役割を分析すること。
• 非ストーカスティックな摂動が、エネルギー障壁の位相的構造と曲率を変化させることで、量子相転移の性質をどのように変えるかを探索すること。
• 一次から二次への量子相転移の遷移が、ホモトピーに起因する臨界点の対の生成と曲率再分配に対応することを示すこと。

提案手法

• 時間に依存するハミルトニアンからコバーディズムを構築し、その特異的ホモロジーがモース理論を介して断熱的遷移を捉える。
• 超対称的量子力学に由来するE. ウィッテンのモースホモロジー構成を応用し、モース関数の臨界点間のフローとして遷移をモデル化する。
• ガウス・ボンネの定理を用いて、全ガウス曲率とオイラー標跡数の関係を確立し、臨界点周辺の曲率再分配を分析する。
• デュピンの指示図と形状作用素を用いて、サドル点付近での局所的幾何的遅延を定量的に評価する。
• pスピンハミルトニアンに非ストーカスティックパラメータ $ b $ を導入し、ストーカスティック性を制御し、臨界点構造と相転移の順序への影響を調査する。
• 退化した状況を解析するためのコンリー理論を用い、フレームワークの位相的安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてモース理論を有限次元系における量子断熱的遷移のグローバルな位相的構造に適用できるか？
• RQ2 断熱的遷移における遅延要因の幾何的起源は何か？ そして、微分幾何学を用いてどのように定量的評価できるか？
• RQ3 非ストーカスティックな結合項の導入が、pスピン模型における臨界点構造と相転移の順序にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ガウス・ボンネの定理によって制約を受ける曲率再分配は、一次相転移の抑制をどの程度説明できるか？
• RQ5 一次から二次への相転移の遷移は、臨界点の対の生成を伴うエネルギー障壁のホモトピーとして理解できるか？

主な発見

• ハミルトニアンから構築したコバーディズムの特異的ホモロジーが、量子断熱的遷移を完全に記述し、プロセスの位相的不変量を提供する。
• ガウス・ボンネの定理により、全ガウス曲率は一定であるが、ホモトピーに伴い臨界点が生成・消滅する過程でその分布が変化する。
• p ≠ 2 であるフェロ磁性 p スピン模型では、b = 1（ストーカスティック）における一次相転移が、b → 0 に伴い二次相転移に変わる。これは臨界点の対が生成されるためである。
• 臨界点の数は b = 0 で最大に達し、このとき系は完全に非ストーカスティックとなる。この増加は、相転移の激しさを弱める曲率再分配と相関する。
• オイラー標跡数 $ \chi = -7 $ は、すべての $ b \in \mathbb{R} $ で不変であり、エネルギー障壁の劇的な変化にもかかわらず、位相的安定性を裏付けている。
• 断熱的遷移における遅延要因は、サドル点付近の形状作用素とデュピンの指示図と定量的に関連づけられ、進捗の遅れを幾何的尺度で測定可能である。