[論文レビュー] Homological perturbations, equivariant cohomology, and Koszul duality

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ホモロジー的摂動理論（HPT）が、奇数次元生成子を持つ有限型外積代数に対して、同変コhomologyにおけるコーゾル双対性の概念的かつ構成的な枠組みを提供することを示している。sh構造とねじれコチェーンを用いて、ねじれテンソル積とHom対象を通じて、同変（co）homologyの小さなモデルを構成し、sh-Λ-加群とsh-ℬ̄Λ-余加群の間の双対性を確立し、導来函手の拡張されたファンクター的性質を通じて、コーゾル双対性の統一的解釈を提供する。

ABSTRACT

Our main objective is to demonstrate how homological perturbation theory (HPT) results over the last 40 years immediately or with little extra work give some of the Koszul duality results that have appeared in the last decade. Higher homotopies typically arise when a huge object, e. g. a chain complex defining various invariants of a certain geometric situation, is cut to a small model, and the higher homotopies can then be dealt with concisely in the language of sh-structures (strong homotopy structures). This amounts to precise ways of handling the requisite additional structure encapsulating the various coherence conditions. Given e. g. two augmented differential graded algebras A and B, an sh-map from A to B is a twisting cochain from the reduced bar construction of A to B and, in this manner, the class of morphisms of augmented differential graded algebras is extended to that of sh-morphisms. In the present paper, we explore small models for equivariant (co)homology via differential homological algebra techniques including homological perturbation theory which, in turn, is a standard tool to handle sh-structures. Koszul duality, for a finite type exterior algebra on odd positive degree generators, then comes down to a duality between the category of sh-modules over that algebra and that of sh-comodules over its reduced bar construction. This kind of duality relies on the extended functoriality of the differential graded Tor-, Ext-, Cotor-, and Coext functors, extended to the appropriate sh-categories. We construct the small models as certain twisted tensor products and twisted Hom-objects. These are chain and cochain models for the chains and cochains on geometric bundles and are compatible with suitable additional structure.

研究の動機と目的

• 過去40年間のホモロジー的摂動理論（HPT）が、同変コhomologyにおける最近のコーゾル双対性の結果に即座にアクセス可能であることを示すこと。
• Gが奇数次元で生成される厳密な外積代数を持つ場合に、HPTを用いてG-空間の同変（co）homologyの小さなモデルを構成すること。
• 奇数次元生成子を持つ有限型外積代数Λに対して、sh-Λ-加群とsh-ℬ̄Λ-余加群の間の概念的双対性を確立すること。
• 標準的な導来圏が不十分な状況において、無限次元群へのコーゾル双対性の拡張を試みること。
• HPT技術、特にねじれEilenberg-Zilber定理と分割ホモトピーが、同変コhomologyとモーメントマップに類似した構造を統一的に扱えることを示すこと。

提案手法

• ホモロジー的摂動理論（HPT）を用いて、高いホモトピー整合性を保ちつつ、大きなチェーン複体から小さなモデルを構成する。
• 還元されたバーバーリング代数B̄A₁からA₂へのねじれコチェーンを用いて、増加微分付き代数間のsh準同型を定義する。
• 幾何的バンドルに適合する構造を持つ、チェーンおよびコチェーンのモデルとして、ねじれテンソル積とねじれHom対象として小さなモデルを構成する。
• Eilenberg-Moore型の結果を適用して、G-同変ホモロジーおよびコホモロジーを、C_*Gに係数を持つ微分TorおよびExt函手として表現する。
• ねじれEilenberg-Zilber定理を用いて、HPTに基づくEilenberg-Moore同型の証明を導出する。
• 普遍ねじれコチェーンのための分割ホモトピーを導入し、gからC^0(X)またはA^0(X)への随伴写像を通じて、任意の次数のコチェーンへとモーメント写像を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー的摂動理論は、同変コhomologyにおけるコーゾル双対性の結果をどのように導出できるか？
• RQ2 sh構造とねじれコチェーンは、同変（co）homologyの小さなモデルを構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 導来函手の拡張されたファンクター的性質から、sh-Λ-加群とsh-ℬ̄Λ-余加群の双対性はどのように生じるか？
• RQ4 分割ホモトピーは、どのようにしてモーメント写像を高次元コチェーンへ一般化するのか？
• RQ5 HPT技術は、無限次元リー群に適用可能であり、有限型の設定を超えてコーゾル双対性を拡張できるか？

主な発見

• 奇数次正の次元生成子を持つ有限型外積代数Λに対するコーゾル双対性は、sh-Λ-加群の圏とsh-ℬ̄Λ-余加群の圏の間の双対性として実現される。
• 同変コホモロジーの小さなモデルは、ねじれテンソル積とねじれHom対象として構成され、幾何的バンドルのチェーンおよびコチェーンのモデルとして機能する。
• Eilenberg-Moore型の同型は、HPTを用い、ねじれEilenberg-Zilber定理を用いて再導出される。
• 2次コチェーンζをH_G^2(X)における同変に閉じたクラスに上げるための障害は、d₂[ζ] ∈ E₂^{2,1}として特定され、d∘φ = ζ∪τを満たすコチェーンφから生じる。
• S′[s²g]上の普遍ねじれコチェーンτ^S′に対する分割ホモトピーhは、comomentum写像h^♭: g⊗A²(X) → A⁰(X)を定義し、その随伴写像は任意の閉じた2形式σに対するモーメント写像を与える。
• 形式的枠組みは、モーメント写像を任意の次数のコチェーンへ一般化し、分割ホモトピーが同変拡張の普遍的置換として機能する。