[論文レビュー] Homological properties of non-deterministic branchings and mergings in higher dimensional automata

P. Gaucher|May 12, 2003

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、並行性のモデルであるフローを用いて、高次元オートマトンにおける分岐および合流のホモロジー理論を導入する。左クィルレン関手を介して分岐空間関手から導来関手を構成することにより、diホモトピー不変性を確立し、高次元分岐のための長完全系列を証明する。これにより、並列系における非決定的挙動の代数的不変量が得られる。

ABSTRACT

The branching (resp. merging) space functor of a flow is a left Quillen functor. The associated derived functor allows to define the branching (resp. merging) homology of a flow. It is then proved that this homology theory is a dihomotopy invariant and that higher dimensional branchings (resp. mergings) satisfy a long exact sequence.

研究の動機と目的

• 高次元オートマトンにおける非決定的分岐および合流のホモロジー不変量を構築すること。
• 分岐空間関手の弱Sホモトピー下での悪性の挙動を克服するため、導来構成を導入すること。
• 得られたホモロジーがdiホモトピー同値（弱SホモトピーおよびTホモトピー）に関して不変であることを確立すること。
• 古典的ホモロジー代数に類似したMayer-Vietoris系列に類似した長完全系列を、高次元分岐に関して証明すること。
• 代数的トポロジーを用いた並列系の分析のためのホモトピー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 分岐空間関手は、共通の初期部分路を共有する非定数実行経路の「芽」の空間として定義される。
• この関手が弱Sホモトピー下で悪性に振る舞うことが示され、これに起因してホモトピー的分岐空間（導来関手）の導入が不可避となる。
• 導来関手は左クィルレン関手構造を介して構成され、関連する全導来関手によりホモロジー理論が得られる。
• ホモロジーが弱SホモトピーおよびTホモトピーに関して不変であることが証明され、これによりdiホモトピー不変性が確立される。
• 射 $ f: X \to Y $ に対するホモロジーの長完全系列は、射のコーン $ Cf $ を用いて導出される。ここで $ H_0(\text{ho}\bb{P}^{-}Z) $ は、$ Z $ のホモトピー的分岐空間の道成分の自由アーベル群に一致する。
• 合流ホモロジーは同様に扱われ、付録Aで双対化された結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元オートマトンにおける非決定的分岐を検出できるホモロジー理論を構築できるか？
• RQ2 そのようなホモロジー理論は、特に弱SホモトピーおよびTホモトピーに関してdiホモトピー同値に関して不変であるか？
• RQ3 分岐ホモロジーは、古典的ホモロジー代数に類似した長完全系列を満たすか？
• RQ4 ホモトピー的分岐空間は、元の分岐空間関手とどのように関係するか？
• RQ5 合流ホモロジーは、分岐ホモロジーと同様に取り扱えるか？

主な発見

• 分岐ホモロジー $ H_*^{-}(X) $ はdiホモトピー不変であり、特に弱SホモトピーおよびTホモトピーに関して不変である。
• 導来分岐ホモロジーは左クィルレン関手を介して構成され、フローのモデルカテゴリ構造と整合性を保つ。
• 任意の射 $ f: X \to Y $ に対して、コーン $ Cf $ を含む長完全系列が確立される。ここで $ H_0(\text{ho}\bb{P}^{-}Z) $ は、$ Z $ のホモトピー的分岐空間の道成分の自由アーベル群に一致する。
• コフェイブルフロー（主に注目対象となるオブジェクト）では、ホモトピー的分岐空間はホモトピーの意味で元の分岐空間と一致する。
• Sホモトピー同値なフローは、$ \bb{P}^{-} $ の関手的性質により、ホモトピー同値な分岐空間を誘導する。
• 合流ホモロジー $ H_*^{+}(X) $ は同様に構成され、双対的性質（長完全系列を含む）を満たす。