[論文レビュー] Homological properties of representations of p-adic groups related to geometry of the group at infinity

Roman Bezrukavnikov|ArXiv.org|Jun 10, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、p-進群の滑らかな表現の導来圏におけるホモロジー的双対性と、デリーニュ＝ルスティグ関手とグローテンディーク＝セール双対性の合成の間の標準的同型を、ブルハット＝ティツのビルディング上のG-不変層と、ボレル＝セールコンパクト化を介したヤコブ関手を結ぶ新しい関手を用いて確立する。さらに、カジダンの予想を証明し、アドミッサブル表現間のヤコブ・エクステント群のオイラー乗数を、楕円的共轭類上の文字の積の積分として表す。

ABSTRACT

Geometry of buildings is used to prove some homological properties of the category of smooth representations of a reductive p-adic group (Kazhdan's "pairing conjecture", Bernstein's description of homological duality in terms of Deligne-Lusztig duality). A different proof had been obtained a little earlier by Schneider and Stuhler.

研究の動機と目的

• 滑らかなG-加群におけるホモロジー的双対性と、デリーニュ＝ルスティグ関手とグローテンディーク＝セール双対性の合成との間の標準的同型を確立すること。
• アドミッサブル表現間のヤコブ・エクステント群のオイラー乗数を、楕円的共轭類上の文字の積の積分として表すカジダンの予想を証明すること。
• 滑らかな表現の反対圏に値をとる関手Lを構成し、これはボレル＝セールコンパクト化におけるG-不変層の直接像の境界への制限を実現する。
• ビルディング上の層論的局在化とヴェルディエ双対性を用いて、表現の幾何学的およびホモロジー的構造を明確化すること。

提案手法

• j: X → X̄ をボレル＝セールコンパクト化、i: ∂X → X̄ を境界埋め込みとするとき、i*∘j_*^G ≅ L∘Γ を満たす完全関手 L: M^opp → Sh_G(∂X) を構成する。
• コンパクト台付き層の導来関手 RΓ_c とヴェルディエ双対性 RΓ を用いて、ビルディング上の層コホモロジーを滑らかなG-加群の導来圏と関連付ける。
• L(M) の境界点 y ∈ ∂X における茎が、P_y が y の安定化部分群であるとき、ヤコブ関手 r_{P_y}(M) に同型であることを確立する。
• 一般論的な局在化の議論を適用し、任意の B ∈ D^b(M) と i ∈ ℤ に対して、A ∈ D^b(S𝔥) と射 RΓ_c(A) → B が存在し、それが j > i に対してコホモロジー H^j に同型を誘導することを示す。
• D_h ≅ DL∘D_Gr であるベナール＝ベズルクアニコフ双対性の同型を用いる。ここで D_h はホモロジー的双対性、D_Gr はグローテンディーク＝セール双対性を表す。
• ハリシュ＝チャンドラの文字の整数性と不変一般化関数を用いて、オイラー乗数を正則楕円的および非楕円的集合への積分に還元し、非コンパクト中心を含むホモロジー的議論により非楕円的部品での消滅を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなG-加群におけるホモロジー的双対性と、デリーニュ＝ルスティグ関手とグローテンディーク＝セール双対性の合成との間に、標準的同型が存在するか？
• RQ2 アドミッサブル表現間のヤコブ・エクステント群のオイラー乗数は、楕円的共轭類上の文字の積の積分として表せるか？
• RQ3 ボレル＝セールコンパクト化におけるブルハット＝ティツのビルディングの境界は、表現上のヤコブ関手とどのように関係するか？
• RQ4 ビルディング上のG-不変層と滑らかな表現の導来圏との間の明確な関手的関係は何か？
• RQ5 非楕円的集合上での文字の積分の消滅は、非コンパクト中心の場合にエクステント群の消滅を示唆するか？

主な発見

• 本稿は、滑らかなG-加群の導来圏上で、ホモロジー的双対性とデリーニュ＝ルスティグおよびグローテンディーク＝セール双対性の合成関手との間の標準的同型 D_h ≅ DL∘D_Gr を確立する。
• G-不変単体的層の直接像のボレル＝セール境界への制限が、その層の全体切断にLを適用した関手と同型であることを証明する。
• 関手Lは完全であり、各境界点でその表現に対するヤコブ関手を作用させることを示し、安定化部分群P_y がヤコブモジュール r_{P_y}(M) を決定する。
• 2つのアドミッサブル表現間のエクステント群のオイラー乗数は、∫_Ell χ_ρ₁(g⁻¹)χ_ρ₂(g) dμ(g) として与えられ、カジダンの予想を証明する。
• 正則非楕円的元に台を持つ任意の不変一般化関数をアドミッサブル表現の文字に対して積分すると消えることが示され、オイラー乗数への非楕円的寄与を除外するのに用いられる。
• Gの中心が非コンパクトである場合、任意のアドミッサブル表現のグローテンディーク群 K^0(M) 内の類は消えるため、このような表現に対してはエクステント次元の交項和が0になる。