[論文レビュー] Homological stability and stable moduli of flat manifold bundles

Sam Nariman|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、高次元多様体 $\#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ の微分同相群が離散位相を入れた場合のホモロジー安定性を確立する。$n > 2$ のとき、その群ホモロジーは安定する。安定ホモロジーは、Haefliger の foliation の分類空間に関連する無限ループ空間のホモロジーと同定され、これは十分に大きな $g$ に対して、平坦な $\text{W}_{g,1}$-バンドル上に非自明な一般化された Mumford-Morita-Miller クラスを検出する。

ABSTRACT

We prove that group homology of the diffeomorphism group of $\#^g S^n imes S^n$ as a discrete group is independent of $g$ in a range, provided that $n>2$. This answers the high dimensional version of a question posed by Morita about surface diffeomorphism groups made discrete. The stable homology is isomorphic to the homology of a certain infinite loop space related to the Haefliger's classifying space of foliations. One geometric consequence of this description of the stable homology is a splitting theorem that implies certain classes called generalized Mumford-Morita-Miller classes can be detected on flat $(\#^g S^n imes S^n)$-bundles for $g$ large enough.

研究の動機と目的

• 離散的表面微分同相群のホモロジー安定性に関する Morita の問いの高次元版を解消すること。
• $\text{W}_{g,1} = \#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ の微分同相群の群ホモロジーが、$n > 2$ のとき安定範囲で $g$ に依存しないことを確立すること。
• $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の安定ホモロジーを、Haefliger の foliation 分類空間に関連する無限ループ空間のホモロジーと同定すること。
• 十分に大きな $g$ に対して、一般化された Mumford-Morita-Miller クラスが平坦な $\text{W}_{g,1}$-バンドル上で検出可能であることを示すこと。
• $2n+1$ 次の有理ホモロジーが非可算次元であることを示し、これにより高次元における非自明な安定ホモロジーが存在することを示すこと。

提案手法

• $\text{W}_{g,1}$ から $\text{W}_{g+1,1}$ への埋め込みによって誘導される安定化写像を用いて、Quillen の安定性マシンを適用し、$\mathrm{Diff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ のホモロジー安定性を証明する。
• 微分同相群の配置空間への作用を分析するため、$\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の単体的解体を構成する。
• 平坦な $\text{W}_{g,1}$-バンドルの分類空間を、写像 $\mathrm{B}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ のホモトピー纤维によってモデル化する。
• ホモトピー pulled-back 構成を用いて、安定ホモロジーを $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})\langle n\rangle$、すなわち $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ の $n$-連結被覆と関連付ける。
• $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ の無限ループ空間構造を活用し、安定分類空間の有理ホモロジーを分析する。
• スペクトル系列技法（Serre 型および Halperin 型）を用い、既知の結果 $\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial)$ および $\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}$ を使って、$\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の低次の有理ホモロジー群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n > 2$ のとき、$g$ が増加するにつれて、$\text{W}_{g,1}$ の離散的微分同相群の群ホモロジーは安定するか？
• RQ2 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の安定ホモロジーは何か？ そして既知の無限ループ空間とどのように関係するか？
• RQ3 十分に大きな $g$ に対して、一般化された Mumford-Morita-Miller クラスは平坦な $\text{W}_{g,1}$-バンドル上で検出可能か？
• RQ4 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の $2n+1$ 次の有理ホモロジーの次元は何か？ そしてこれは安定ホモロジーにどのような含意を持つか？
• RQ5 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の有理ホモロジーは低次の範囲でどのように分解されるか？ また、普遍的および削減済みの分類空間からの寄与は何か？

主な発見

• $n > 2$ のとき、安定化写像 $H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \to H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g+1,1}, \partial); \mathbb{Z})$ は $k < (g-2)/2$ で同型であり、$k \leq (g-2)/2$ で全射である。
• $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ の安定ホモロジーは、無限ループ空間 $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ のホモロジーと同型であり、これは $\mathrm{BS}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ のホモトピー纤维である。
• $2n+1$ 次の有理ホモロジーは、$h_1 c_1^{2n}$ による積分を通じた評価写像 $H_{2n+1}(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \to \mathbb{R}$ の全射性により、非可算次元であることが示された。
• $g \geq 4n+4$ のとき、写像 $H_{2n+1}(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \to \mathbb{R}$ は全射であり、非可算個の独立なクラスの存在を確認した。
• 低次の範囲では、$H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \cong H_1(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z})$ であり、$g \geq 9$ かつ $n \geq 3$ のとき $H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) = 0$ である。
• $g \geq 9$ かつ $n \geq 3$ のとき、有理ホモロジー $H_2(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q})$ は $H_2(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \oplus H_2(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$ に分解され、$H_3(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \cong H_3(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$ である。