[論文レビュー] Homological stability for automorphism groups

Nathalie Wahl, Oscar Randal‐Williams|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、ブレッドモノイダル圏内の対象の自己同型群に対して、ブロック和構造を持つ群の族から均質な圏を構成することにより、ホモロジー的安定性を確立する。定数係数に加え、多項式およびアーベル的ねじれ係数に対しても、追加の仮定なしに安定性を示し、対称群、ブレッド群、線形群、写像類群、自由群自己同型群の古典的結果を統一的かつ拡張する。また、ブレッド群や関連群に対して新しい応用を可能にする、FI圏のブレッド版を導入する。

ABSTRACT

Given a family of groups admitting a braided monoidal structure (satisfying mild assumptions) we construct a family of spaces on which the groups act and whose connectivity yields, via a classical argument of Quillen, homological stability for the family of groups. We show that stability also holds with both polynomial and abelian twisted coefficients, with no further assumptions. This new construction of a family of spaces from a family of groups recovers known spaces in the classical examples of stable families of groups, such as the symmetric groups, general linear groups and mapping class groups. By making systematic the proofs of classical stability results, we show that they all hold with the same type of coefficient systems, obtaining in particular without any further work new stability theorems with twisted coefficients for the symmetric groups, braid groups, automorphisms of free groups, unitary groups, mapping class groups of non-orientable surfaces and mapping class groups of 3-manifolds. Our construction can also be applied to families of groups not considered before in the context of homological stability. As a byproduct of our work, we construct the braided analogue of the category FI of finite sets and injections relevant to the present context, and define polynomiality for functors in the context of pre-braided monoidal categories.

研究の動機と目的

• 多様な群の族にわたるホモロジー的安定性の結果を、カテゴリカルな枠組みを用いて統一的かつ一般化すること。
• ブレッドモノイダル圏における自己同型群に対して、多項式およびアーベル的ねじれ係数付きでホモロジー的安定性を確立すること。
• ブレッド群や関連群に対して、FI圏のブレッド版を構成し、この文脈における多項式関手の新しい理論を可能にすること。
• 弱いカテゴリカルな仮定のもとで、追加の群論的または位相的条件を必要とせずに、ホモロジー的安定性が普遍的に成り立つことを証明すること。

提案手法

• キャンセルと自己同型群の単射性の条件を満たすブレッドモノイダル群の族から、均質な圏 (UG, ⊕, 0) を構成する。
• 安定化対象 X を加えることによって誘導される写像の反復核および余核を用いて、次数 r の係数系を定義する。
• クィレンのスペクトル系列の議論を用い、均質な圏に関連する分類空間の連結性からホモロジー的安定性を導出する。
• 前ブレッドモノイダル圏における多項式関手を導入し、古典的な多項式関手を一般化し、バウール表現のような新しい例を含む。
• 古典的群（対称群、線形群、写像類群、ブレッド群、自己同型群）および新しい族（例えば、3次元多様体の写像類群）にこの枠組みを適用する。
• 単体的複体の局所均質性および連結性を確認し、クィレンの連結性定理の仮定を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー的安定性が、一様なカテゴリカルな枠組みを用いて、多様な群の族にわたって証明可能か？
• RQ2 基礎となる圏に最小限の仮定しか課さない場合でも、多項式およびアーベル的ねじれ係数付きでホモロジー的安定性が成り立つか？
• RQ3 FI圏のブレッド版とは何か？ そして、ブレッド群や関連群に対して多項式関手の理論を支えるにはどう使われるか？
• RQ4 この枠組みは、ねじれ係数付きの対称群、線形群、写像類群の既知の安定性結果を回復し、拡張可能か？
• RQ5 この統一的アプローチによって、どのような新しい群の族がホモロジー的安定性を満たすか？

主な発見

• ブレッドモノイダル圏 C において、弱い仮定のもとで自己同型群 Gn = Aut(A ⊕ X⊕n) のホモロジー的安定性が成り立つ。i ≤ f(n) に対して、Hi(Gn) → Hi(Gn+1) の同型が成り立ち、n → ∞ のとき f(n) → ∞ となる。
• 定数係数に加え、多項式およびアーベル的係数系（符号表現や行列式ねじれ付き関手を含む）に対しても安定性が確立される。
• この構成により、既知の空間（対称群のためのFI、写像類群のためのIvanovの圏）が回復され、ブレッド群のための新しい前ブレッド圏が得られ、多項式関手の新しい理論が可能になる。
• 自由群の対称自己同型群 ΣAut(Fn) に対して、この枠組みにより新しいねじれ安定性定理が証明され、この場合に定理Gが成立する。
• この方法は、3次元多様体の写像類群などの新しい群の族に適用可能であり、同じ仮定のもとでその交換子部分群に対しても安定性が証明される。
• この枠組みにより、多項式係数付きの安定性が成り立つならば、同じ仮定のもとで交換子部分群 G′n の安定性も成り立つことが証明される。