[論文レビュー] Homology and cohomology via enriched bifunctors

Kazuhisa Shimakawa, Kohei Yoshida+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、数値的に生成された点付き空間の圏（NG₀）における豊富な双関手を用いて、一般化されたホモロジーおよびコホモロジー理論を構成する、カテゴリー論的な新規枠組みを提示する。NG₀の完備性、余完備性、モノイダル閉性を活用することで、線形な豊富な双関手がスペクトルから得られる理論と同型である一般化されたホモロジーおよびコホモロジー理論を生じることを示し、線形な豊富な関手とスペクトルの間でクイレン同値性を確立することで、古典的な安定ホモトピー論を統一的かつ一般化する。

ABSTRACT

We show that the category of numerically generated pointed spaces is complete, cocomplete, and monoidally closed with respect to the smash product, and then utilize these features to establish a simple but flexible method for constructing generalized homology and cohomology theories by using the notion of enriched bifunctors.

研究の動機と目的

• 一般化されたホモロジーおよびコホモロジー理論を構築するための、スペクトルに依存しない柔軟なカテゴリー論的代替手法を開発すること。
• 点付き位相空間の圏を、完備かつ余完備でモノイダル閉であるためのより都合の良い圏 NG₀ に置き換えること。
• NG₀ 上の線形な豊富な関手のモデル圏とスペクトルの圏との間でクイレン同値性を確立することで、古典的な安定ホモトピー論を新しい枠組みで回復すること。
• 関手が一つの変数に関して反変で、もう一つに関して共変であるような豊富な双関手を用いて、双変ホモロジー・コホモロジー理論を体系的に構成すること。

提案手法

• 著者らは、単体的単体的単体の最終位相を誘導するものとして、数値的に生成された空間を定義し、点付き位相空間の完全部分圏 NG₀ を構成する。
• NG₀ が完備かつ余完備であり、直積閉であることを示し、弱同値を誘導する反射子 ν: Top₀ → NG₀ が存在することを確立する。
• NG₀ がスモールス・積に関してモノイダル閉であることが示され、内部ホムと豊富な関手構造を可能にする。
• 関手 T: NG₀ → NG₀ が、内部ホム Y^X → (TY)^{TX} を誘導するとき、豊富であると呼ばれる。線形とは、コボンドル系列をホモトピー型で保存することを意味する。
• 双関手 F: NG₀^op × NG₀ → NG₀ に対して、豊富性とは、誘導される写像 F₀(X′,X) × F₀(Y,Y′) → F₀(F(X,Y), F(X′,Y′)) が連続かつ点付きであることである。
• ホモロジーおよびコホモロジー理論の構成は、それぞれの懸垂同型を用いた π₀(F(S^{n+k}, Σ^k X)) および π₀(F(Σ^k X, S^{n+k})) の余極限に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルに依存せずに、豊富な関手およびカテゴリー論的構造のみを用いて、一般化されたホモロジーおよびコホモロジー理論を構築できるか？
• RQ2 数値的に生成された点付き空間の圏 NG₀ は、完備性、余完備性、モノイダル閉性という性質を十分に満たしており、安定ホモトピー論の基盤として適切か？
• RQ3 S⁰ における導分関手の割り当てが、NG₀ 上の線形な豊富な関手のモデル圏とスペクトルの圏との間でクイレン同値性を誘導するか？
• RQ4 豊富な双関手から双変ホモロジー・コホモロジー理論を体系的に構成でき、既知の理論（例えば、特異コホモロジーまたはスティーナードコホモロジー）を回復できるか？
• RQ5 スペクトルから生じない豊富な双関手であっても、非自明かつ興味深い双変ホモロジー・コホモロジー理論を生じさせるものはあるか？

主な発見

• 任意の線形な豊富な関手 T: NG₀ → NG₀ は、n ≥ 0 に対して hₙ(X;T) ≅ πₙ(TX) および n < 0 に対して π₀(T(Σ⁻ⁿX)) で定義される一般化されたホモロジー理論を定める。これは、懸垂を用いてホモロジーとコホモロジーを統一する。
• S⁰ における導分関手は、NG₀ 上の線形な豊富な関手のモデル圏とスペクトルの圏との間でクイレン同値性を誘導し、それらのホモトピー圏が同値であることを示す。
• 双線形関手 F に付随するホモロジー理論 hₙ(X;F) は、F の共変部分 T（ここで TX = F(S⁰, X)）によって定義されるホモロジー理論と自然同型である。
• コホモロジー理論 hⁿ(X;F) は、k, n+k ≥ 0 のとき π₀(F(ΣᵏX, Sⁿ⁺ᵏ)) と同型であり、懸垂同型 hⁿ⁺¹(ΣX;F) ≅ hⁿ(X;F) を満たす。
• 具体例により、特異コホモロジーおよびČechコホモロジー（Steenrodホモロジーを含む）が、特定の豊富な双関手によって表現可能であることが示され、すべての空間に対して特異コホモロジーを一括して表現する単一の双関手は存在しないことが判明する。
• この枠組みは柔軟かつ一般化可能であり、単体的集合、微分的空間、および等変空間などの他の圏に対しても適用可能であり、古典的位相の範囲を越えた広範な応用可能性を示唆する。