[論文レビュー] Homology of Hilbert schemes of points on a locally planar curve

Jørgen Vold Rennemo|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的に平面な曲線の点のヒルベルトスキームの有理ホモロジーに、固定された点および曲線そのものに関連する生成/消滅作用素を用いてウェイル代数作用を確立する。また、ヒルベルトスキーム $C^{[n]}$ のホモロジーがコンパクト化ヤコビアン $J$ と新たな $D$-重層構造に分解されることを証明し、最近の Maulik–Yun および Migliorini–Shende のコhomological公式を回復・強化する。

ABSTRACT

Let C be a proper, integral, locally planar curve, and consider its Hilbert schemes of points C^[n]. We define 4 creation/annihilation operators acting on the rational homology groups of these Hilbert schemes and show that the operators satisfy the relations of a Weyl algebra. The action of this algebra is similar to that defined by Grojnowski and Nakajima for a smooth surface. As a corollary, we compute the cohomology of C^[n] in terms of the cohomology of the compactified Jacobian of C together with an auxiliary grading on the latter. This recovers and slightly strenghtens a formula recently obtained in a different way by Maulik and Yun and independently Migliorini and Shende.

研究の動機と目的

• 固有かつ整であり、局所的に平面な曲線 $C$ に対して、ヒルベルトスキーム $C^{[n]}$ の有理ホモロジーに生成/消滅作用素を定義・研究すること。
• これらの作用素が、特異曲線への一般化として、ナカジマ–グロイノフスキーの構成を拡張するウェイル代数の交換関係を満たすことを示すこと。
• $C^{[n]}$ のホモロジーをコンパクト化ヤコビアン $J$ と新たな二重層構造 $D_m H_*(J)$ で記述し、$n \geq 2g-1$ の場合に既知の結果をすべての $n$ にまで拡張すること。
• 消滅作用素の核から得られるフォック空間構造を用いて、$H_*(C^{[n]})$ の計算のための新たな代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 固定された非特異点 $x$ に対する追加/除去作用素 $\mu_{\pm}[\mathrm{pt}]$ と、$Z \subset Z'$ を満たすペア $(Z, Z')$ のフラッグヒルベルトスキームに対する $\mu_{\pm}[C]$ の2組の作用素を定義する。
• フラッグヒルベルトスキーム $C^{[n,n+1]}$ 上のギジン写像 $p^!, q^!$ を用いて作用素を定義し、$C$ の局所的平面性に依拠して特異性にもかかわらず定義が正当化されることを保証する。
• 相対ヒルベルトスキーム $\mathcal{C}^{[n]}$ が非特異となるような、滑らかな基底 $B$ 上の曲線の滑らかな族 $\mathcal{C} \to B$ を構成し、標準的な対応計算を可能にする。
• 作用素が族に引き上げられることを用いて、滑らかな族上で計算し、ファイバー $C$ に制限することでウェイル代数の交換関係を証明する。
• 核 $W = \ker \mu_-[\mathrm{pt}] \cap \ker \mu_-[C]$ を定義し、$V(C) \cong W \otimes \mathbb{Q}[\mu_+[\mathrm{pt}], \mu_+[C]]$ を示し、フォック空間構造を確立する。
• アーベル–ヤコビ写像 $AJ_*: V(C) \to H_*(J)$ を用いて $W \cong H_*(J)$ を同定し、コンパクト化ヤコビアンに二重層構造 $D_m H_i(J)$ を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異曲線 $C$ に対して $n < 2g-1$ のとき、ヒルベルトスキーム $C^{[n]}$ のホモロジーをどのように代数的に記述できるか？
• RQ2 ナカジマ–グロイノフスキーの構成を滑らかな曲面に一般化したように、$C^{[n]}$ のホモロジーにウェイル代数作用を定義できるか？
• RQ3 $n$ が大きい場合に既知のバンドル構造を超えて、$H_*(C^{[n]})$ とコンパクト化ヤコビアン $J$ のコhomologyの間の明確な関係は何か？
• RQ4 $H_*(J)$ に導入された新たな $D$-重層構造は、既存の $H_*(C^{[n]})$ の公式をどのように精緻化または回復するか？
• RQ5 $H^*(J)$ における $Q$-フィルトレーションと $D$-重層構造から、$C^{[n]}$ のコhomological構造を再構成できるか？

主な発見

• 作用素 $\mu_{\pm}[\mathrm{pt}], \mu_{\pm}[C]$ が $V(C) = \bigoplus_n H_*(C^{[n]})$ 上でウェイル代数の関係 $[\mu_-[\mathrm{pt}], \mu_+[C]] = [\mu_-[C], \mu_+[\mathrm{pt}]] = \mathrm{id}$ を満たし、他のすべてのペアは可換である。
• $H_*(C^{[n]})$ は $\bigoplus_{m \leq n} D_m H_*(J) \otimes \mathrm{Sym}^{n-m}(\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}[2])$ に同型であり、$D_m H_*(J)$ はコンパクト化ヤコビアンに導入された新たな二重層構造である。
• 核 $W = \ker \mu_-[\mathrm{pt}] \cap \ker \mu_-[C]$ は $H_*(J)$ に同型であり、$V(C)$ は $W$ と生成作用素によって自由に生成される。
• $H_*(J)$ における $D$-重層構造はアーベル–ヤコビ写像を介して誘導され、$0 \leq m \leq 2g$ のときのみ非ゼロであり、$g$ は $C$ の算術 genus である。
• コhomological版の結果では、$H^*(C^{[n]})$ における $Q$-フィルトレーションが作用素によって保存され、$H^*(C^{[n]})$ と $H^*(J)$ の生成関数 $F_J = F_W$ を満たす。これにより $D_{\leq i+j} H^i(J) = Q_{\leq j} H^i(J)$ が得られる。
• 本結果は、Maulik–Yun および Migliorini–Shende の公式を代数的・作用素論的枠組みと $H_*(J)$ における新たな重層構造を用いて回復・強化する。