[論文レビュー] Homology of Lie algebra of supersymmetries

M. V. Movshev, Albert Schwarz+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ゴースト変数を用いたリー代数コホモロジーにより、次元 D=10 および D=6 の超対称性の超リー代数および超ポincare代数のコホモロジーとホモロジーを計算する。コホモロジー群を直交群の既約表現に明示的に分解し、多項式環上での生成子を同定し、Hochschild-Serre 譜系を用いて、超ポincare代数のコホモロジーを、超対称性代数コホモロジーの L-不変成分を通じて計算する。

ABSTRACT

We study the homology and cohomology groups of super Lie algebra of supersymmetries and of super Poincare algebra. We discuss in detail the calculation in dimensions D=10 and D=6. Our methods can be applied to extended supersymmetry algebra and to other dimensions.

研究の動機と目的

• D=10 および D=6 の超対称性の超リー代数および超ポincare代数のコホモロジーとホモロジーを計算すること。
• 最高重みラベルを用いて、それぞれのコホモロジー群を直交リー代数 so(10) および so(6) の表現として記述すること。
• 偶数ゴースト変数の多項式環上のモジュールとしてのコホモロジーの有限生成集合を同定すること。
• テンソル積則を用いた境界項の解析により、微分作用素による生存を評価し、コホモロジー類のうち非自明なものがどれかを特定すること。
• Hochschild-Serre 譜系を用いて、超対称性代数コホモロジーの L-不変成分に注目し、超ポincare代数のコホモロジーを計算すること。

提案手法

• 超リー代数の構造定数を用いて、ゴースト変数の多項式関数の代数上に微分 d を定義し、d² = 0 を満たす。
• 偶数ゴースト t^α および奇数ゴースト c^m における次数による二重次数を導入し、k = m + 2n による再パarametrization を行い、微分作用の分離を実現する。
• 超ポincare代数のコホモロジーを、直交リー代数のコホモロジーと超対称性代数コホモロジーの L-不変成分のテンソル積として、Hochschild-Serre 譜系を用いて計算する。
• スピン表現 S ⊗ [i,j,p,q] のテンソル積公式を用い、コホモロジー類における微分作用の作用を計算し、境界項を同定する。
• 次元数え上げと最大伝搬原理に基づく帰納的証明により、コホモロジー群の分解を検証する。
• 境界項（赤、上線）と境界へ写像される項（青、下線）を区別し、コホモロジーに寄与するのは境界でない項のみであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D=10 および D=6 の超対称性の超リー代数のコホモロジー群は、直交群の表現としてどのように表されるか？
• RQ2 微分 d はチェイン複体上でどのように作用し、非自明なコホモロジー類として生存するのはどの成分か？
• RQ3 コホモロジーは多項式環 C[t^1, ..., t^α] 上のモジュールとしてどのように構造を持つか？
• RQ4 超対称性代数コホモロジーのうち、直交リー代数の作用に関して不変な成分は何か？ そしてそれらは超ポincare代数コホモロジーにどのように寄与するか？
• RQ5 Hochschild-Serre 譜系は、超対称性代数コホモロジーから超ポincare代数コホモロジーを計算する際に果たす役割は何か？

主な発見

• D=10 において、超対称性の超リー代数のコホモロジー H^{k,n} は so(10) の既約表現に分解され、H^{k,0} = [0,0,0,0,k]、H^{k,1} = [0,0,0,1,k-3]、…、H^{k,5} = [0,0,0,0,k-12] となる。
• k=4 の場合、H^{4,1} に追加のスカラー項 [0,0,0,0,0] が現れ、一般パターンに対する非自明な補正を示す。
• コホモロジーは C[t^1,...,t^α] 上のモジュールであり、H^{1,0} および H^{2,1} が生成子であり、他のすべてのクラスは多項式乗算により表現可能である。
• D=6 において、超ポincare代数のコホモロジーは (m,n) = (0,0) および (2,1) のみ非自明であり、それぞれ自明表現およびランク2対称テンソル表現に対応する。
• D=10 において、超ポincare代数コホモロジーへの非自明な寄与は (m,n) = (0,0)、(2,1)、(2,5) のみであり、(2,5) はコホモロジー・モジュールにおける最高重み [0,0,0,0,2] に対応する。
• 境界項はテンソル積則および帰納的証明により同定され、非自明なコホモロジー類として生存するのは特定の既約成分に限られることが確認された。