[論文レビュー] Homology of pseudodifferential operators I. Manifolds with boundary

Richard Melrose, Victor Nistor|ArXiv.org|Jun 21, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 100

ひとこと要約

この論文は、境界を持つコンパクト多様体上のカスプ擬微分作用素の代数のホッフシュルトおよび循環ホモロジーを計算し、インデックス汎関数をホッフシュルト1-コサイクルとして解釈する。アティヤ＝パトディ＝サインターのインデックス定理の擬微分作用素への拡張を導出し、境界上のススペンダス代数からのエータ不変量を組み込み、インデックスをウォドジッチの残留トレースと外微分作用素を用いて表現する。

ABSTRACT

The Hochschild and cyclic homology groups are computed for the algebra of `cusp' pseudodifferential operators on any compact manifold with boundary. The index functional for this algebra is interpreted as a Hochschild 1-cocycle and evaluated in terms of extensions of the trace functionals on the two natural ideals, corresponding to the two filtrations by interior order and vanishing degree at the boundary, together with the exterior derivations of the algebra. This leads to an index formula which is a pseudodifferential extension of that of Atiyah, Patodi and Singer for Dirac operators; together with a symbolic term it involves the `eta' invariant on the suspended algebra over the boundary previously introduced by the first author.

研究の動機と目的

• 境界付きコンパクト多様体上のカスプ擬微分作用素の代数のホッフシュルトおよび循環ホモロジー群を計算すること。
• トレース汎関数と外微分作用素を用いて、インデックス汎関数をホッフシュルト1-コサイクルとして解釈すること。
• ホモロジー代数を用いて、擬微分作用素の設定におけるアティヤ＝パトディ＝サインターのインデックス定理を一般化すること。
• インデックスをウォドジッチの残留トレース、外微分作用素、および境界上のススペンダス代数におけるエータ不変量を用いて表現すること。
• インデックス公式がホッフシュルトホモロジー長完全系列における境界写像とどのように関連するかを示すホモロジー的枠組みを確立すること。

提案手法

• ホッフシュルトホモロジーをコサーフェア・バンドルと円周因子のデ・ラームコホモロジーに同定するために、スペクトル系列の議論を用いる。
• トレース汎関数 Tr_R を、Tr(AQ^{-z}) のメロモルフィック続行における z=0 での留数として定義する。
• log Q との交換子による微分作用素 D_log Q を定義し、ホッフシュルトコホモロジー上への写像 i_log Q を誘導する。
• インデックス汎関数 IF(A,B) を滑らか作用素上のトレースの境界写像の像として表現し、IF(A,B) = Tr_R(A[log Q,B]) と得る。
• ホッフシュルトホモロジーにおける長完全系列を用いて、インデックス汎関数を記号代数とイデアルに関連付ける。
• メロモルフィック続行と密度とのペアリングを用いて、境界付近における正規分布の挙動を解析し、特にカスプ微分作用素の枠組みで考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き多様体上のカスプ擬微分作用素のホッフシュルトおよび循環ホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ2 インデックス汎関数のホモロジー的解釈は、ホッフシュルトコサイクルおよび境界写像の観点からどのように得られるか？
• RQ3 カスプ作用素のインデックス公式は、擬微分作用素の設定において、アティヤ＝パトディ＝サインターの定理をどのように拡張するか？
• RQ4 境界上のススペンダス代数におけるエータ不変量は、インデックス公式においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 内部順序および境界における消滅度によるフィルトレーションは、代数の構造とそのホモロジーにどのように影響を与えるか？

主な発見

• ホッフシュルトホモロジー群 HH_k(A) は、コサーフェア・バンドル S^*X と S^σ の積 S^*X × S^σ のデ・ラームコホモロジー群 H^{2n-k}(S^*X × S^σ) に同型である。
• インデックス汎関数 IF はホッフシュルト1-コサイクルであり、滑らか作用素上のトレースの境界写像の像として実現される。
• インデックス公式には、ウォドジッチの残留トレースを含む記号的項と、境界上のススペンダス代数におけるエータ不変量を含む項が含まれる。
• 微分作用素 i_log Q は、H^1(S^σ) の生成元とのカップ積に対応し、インデックス汎関数がシンプレクティック構造と関連することを示す。
• 滑らか作用素のイデアルは H-ユニタルであるため、ホッフシュルトホモロジーにおける長完全系列は適切に定義され、境界写像の構成が可能になる。
• カスプ微分作用素の計算は、t = e^{-1/x} を用いた境界の超越的ブロー・アップから生じる。また、b-擬微分作用素はこの変換の下でカスプ作用素に引き上げられる。