[論文レビュー] Homology of SL2 over function fields I: parabolic subcomplexes

Matthias Wendt|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数閉体 $k$ 上の滑らかなアフィン曲線 $C$ に対する $\mathrm{SL}_2(k[C])$ のビルディングにおけるパラボリック部分複体の等長ホモロジーを計算する。$\mathbb{Z}[1/2]$-係数を用いて、単数群 $k[C]^\times$ および精錬スカイサーズ合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ を用いた明示的公式を提示し、$s=1$ の場合のススリンの結果を一般化するとともに、関数体設定におけるホモロジーの理解を拡張する。

ABSTRACT

The present paper studies the homology of the groups $SL_2(k[C])$ and $GL_2(k[C])$ where $C=\overline{C}\setminus\{P_1,\dots,P_s\}$ is a smooth affine curve over an algebraically closed field $k$. It is well-known that these groups act on a product of trees and the quotients can be described in terms of certain equivalence classes of vector bundles on the complete curve. There is a natural subcomplex of cells with non-unipotent isotropy group. The paper provides explicit formulas for the equivariant homology of this "parabolic subcomplex". These formulas also describe the homology of $SL_2(k[C])$ above degree s, with finite coefficients away from the characteristic of $k$, generalizing a result of Suslin for the case s=1.

研究の動機と目的

• アフィン曲線 $C$ を定義する代数閉体上での $\mathrm{SL}_2(k[C])$ のホモロジーを理解すること、ここで標準的な解析的手法は不適切である。
• 関数体 $\mathrm{SL}_2(k[C])$ に関連するビルディング $\mathfrak{X}_C$ におけるパラボリック部分複体 $\mathfrak{P}_C$ の構造を分析すること。
• 特に $s$ 以上の次数において、$\mathfrak{P}_C$ の等長ホモロジーを明示的に計算し、$s=1$ のススリンの結果を一般化すること。
• スペクトル系列の技法を用いて、ホモロジーを精錬スカイサーズ合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ および単数群 $k[C]^\times$ に関連付けること。

提案手法

• $\mathrm{SL}_2(k[C])$ はツリーの積に作用し、商 $\mathrm{SL}_2(k[C])\backslash\mathfrak{X}_C$ は同定スペクトル系列を用いて分析される。
• パラボリック部分複体 $\mathfrak{P}_C$ は、非単型安定化群をもつセルの部分複体として定義され、$\mathcal{K}(C) = \operatorname{Pic}(C)/\iota$ によってその連結成分が添字付けられる。ここで $\iota$ は反転写像である。
• 等長ホモロジーは $\mathbb{Z}[1/2]$-係数を用いて計算され、スペクトル系列が主要な場合に退化するように簡略化される。
• $\mathcal{L}|_C \not\cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ である成分に対しては、ホモロジーは $\mathrm{H}_\bullet(\mathbb{Z}[1/2], k[C]^\times)$ に同型である。
• $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ である成分に対しては、$\tilde{\mathcal{SN}}$（単項行列の群）および $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ を含む長い完全系列が導出される。
• $\mathrm{PGL}_2$ に対しても、同様のスペクトル系列分析と $\mathrm{SL}_2$ の場合との比較を用いて結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上での $\mathrm{SL}_2(k[C])$ のパラボリック部分複体 $\mathfrak{P}_C$ の等長ホモロジーをどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 $\mathcal{K}(C) = \operatorname{Pic}(C)/\iota$ としてのピカール群の反転による商が、$\mathfrak{P}_C$ の連結成分を添字づける役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 精錬スカイサーズ合同群 $\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ は、$\mathfrak{P}_C$ のホモロジー計算においてどのように生じるか？
• RQ4 $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ の場合のホモロジー構造は何か？また、非自己双対の場合とはどのように異なるか？
• RQ5 ビルディングへの作用に伴うスペクトル系列を、$\mathbb{Z}[1/2]$-係数を用いて簡略化することで、明示的公式が得られるか？

主な発見

• $\mathfrak{P}_C$ の等長ホモロジーは、$\mathcal{K}(C) = \operatorname{Pic}(C)/\iota$ における各成分に沿って直和に分解され、各成分はクラス $[\mathcal{L}]$ によって添字付けられる。
• $[\mathcal{L}] \in \mathcal{K}(C)$ で $\mathcal{L}|_C \not\cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ である場合、$\mathfrak{P}_C(\mathcal{L})$ のホモロジーは $\mathrm{H}_\bullet(k[C]^\times, \mathbb{Z}[1/2])$ に同型である。
• $[\mathcal{L}] \in \mathcal{K}(C)$ で $\mathcal{L}|_C \cong \mathcal{L}|_C^{-1}$ である場合、$\mathcal{RP}^1_\bullet(k)$ および $\mathrm{H}_\bullet(\tilde{\mathcal{SN}}, \mathbb{Z}[1/2])$ を含む長い完全系列が存在する。ここで $\tilde{\mathcal{SN}}$ は $\mathrm{SL}_2(k[C])$ 内の単項行列の群である。
• $C^\mathrm{alt}_\bullet(F)$ の複体に対するスペクトル系列は、制御された方法で退化し、微分は $\mathcal{RP}^1_q(F) \to \mathrm{H}_{q-1}(\mathrm{N}(F), \mathbb{Z}[1/2])$ に同型である。
• $\mathcal{RP}^1_q(F)$ はスペクトル系列における微分 $d^1$ および $d^{q-1}$ の核として特定され、$q \leq 1$ では自明である。
• 長い完全系列の低次の部分はブロッホ＝ワインバー序列を回復し、$\mathcal{RP}^1_2(F) \cong I(F)$ である。ここで $I(F)$ は $F$ のウィット環における基本的理想である。