[論文レビュー] Homology of spaces of homogeneous polynomials in $R^2$ without multiple zeros

V. A. Vassiliev|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、判別式集合の錐的解体を用いて、任意の実直線上にk重零点をもたないℝ²上の同次多項式空間のコホモロジーを計算する。主な結果は、すべてのd ≥ k ≥ 2に対してコホモロジー群を完全に記述することであり、k=2かつ偶数dのとき、空間がd/2 + 2個の連結成分を持つことが明らかになる。そのうち2つは可縮であり、残りd/2個は円周とホモトピー同値である。

ABSTRACT

For any natural $d \ge k \ge 2$ we calculate the cohomology groups of the space of homogeneous polynomials $R^2 o R$ of degree $d$, which do not vanish with multiplicity $\ge k$ on real lines. For $k=2$ this problem provides the simplest example of the situation, when the "finite degree" invariants of nonsingular objects are not a complete system of invariants.

研究の動機と目的

• 任意の実直線上で多重度≥kで消失しないℝ²→ℝの同次多項式空間のコホモロジー群を計算すること。
• 次数dの同次多項式空間HPdにおける判別式集合Σkの補集合の位相的構造を理解すること。
• 有限次数不変量が完全系を形成しない場合、特にk=2かつ偶数dのときの原因を分析すること。
• 連続的な単体的解体の類似物を用いて、Arnoldのアフィン的結果を同次的設定に拡張すること。
• 錐的解体から生じる特定のコホモロジー類が安定化に関して不安定であることを確立し、有限次数不変量の不完全性を示すこと。

提案手法

• アレクサンダー双対性を適用し、HPd\Σkのコホモロジーを判別式集合Σkのボレル＝ムーアホモロジーと関連付ける。
• ℝP¹をℝ^Nに一般に埋め込み、f ∈ Σk\{0}に対して、fが多重度≥kを持つ直線の像によって張られる単体を関連付けることにより、Σkの錐的解体を構成する。
• タルスキー＝ザイデンバーグ補題を用いて、解体空間が半代数的であり、三角形分割をもつことを保証する。
• k重零点を支持する異なる直線の数に基づくフィルトレーションを解体空間に定義し、スペクトル系列を得る。
• スペクトル系列のE1項を分析し、kとdの偶奇に応じて特定の双次数にのみサポートされることを示す。
• スペクトル系列がE1で退化することを証明するが、kが奇数かつdがkで割り切れる場合を除き、1つのd1微分がℤ2細胞を消去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ²における同次多項式空間で、任意の実直線上にk重零点をもたないもののコホモロジー構造はどのようになるか？
• RQ2 k=2かつdが偶数のとき、有限次数不変量が特定の多項式類（例：正関数と負関数）を区別できないのはなぜか？
• RQ3 判別式集合Σkの位相が、その補集合HPd\Σkのコホモロジーにどのように影響するか？
• RQ4 ゼロ多項式が極限点として存在することは、単体的解体ではなく連続的解体（錐的解体）を必要とする理由は何か？
• RQ5 錐的解体から生じるコホモロジー類が安定化に関して不安定であるのはなぜか？そしてこれは、S¹上の滑らか関数の不変量にどのような意味を持つのか？

主な発見

• kが偶数のとき、コホモロジー群˜H*(HPd\Σk)はランク2[d/k]+1の自由アーベル群であり、次元k−2, 2(k−2), ..., [d/k](k−2), k−1, 2(k−2)+1, ..., [d/k](k−2)+1, およびd−2[d/k]に生成子を持つ。
• kが奇数かつdがkで割り切れないとき、コホモロジー群は特定の次元p(k−2)およびp(k−2)+1（d−pkが奇数のpに対して）におけるℤの直積、d−pkが偶数のpに対してはp(k−2)+1におけるℤ2、および次元d−2[d/k]におけるℤからなる。
• kが奇数かつdがkで割り切れるとき、次元d−2(d/k)+1におけるℤ2和因子が消滅し、構造がわずかに単純化される。
• dが偶数かつk=2のとき、空間HPd\Σ2はd/2 + 2個の連結成分を持つ。そのうち2つは可縮（正関数および負関数）、残りd/2個はそれぞれS¹とホモトピー同値である。
• ˜H*(Σk)を計算するスペクトル系列は、kが奇数かつdがkで割り切れる場合を除きE1で退化する。その場合、1つのd1微分がℤからℤ2への写像によりℤ2和因子を消去する。
• k=2かつdが偶数のとき、0次元コホモロジー類が安定でないことは、有限次数不変量だけではすべての位相的型を区別できないことを示し、このような不変量の不完全性を示している。