[論文レビュー] Homology stability for the special linear group of a field and Milnor-Witt K-theory

Kevin Hutchinson, Liqun Tao|ArXiv.org|Nov 13, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特性が0の体 F における特殊線型群 SL_t(F) についてホモロジー安定性を確立し、安定化写像 H_n(SL_t(F), ℤ) → H_n(SL_{t+1}(F), ℤ) が t ≥ n+1 で同型であり、t = n で全射であることを証明する。これは C.-H. Sah の予想を裏付けるものであり、t = n−1 における写像の余核が、n が偶数のとき Milnor-Witt K-理論 K^MW_n(F) に、n が奇数のとき 2K^M_n(F) に同型であることを特定する。

ABSTRACT

Let F be a field of characteristic zero and let f(t,n) be the stabilization homomorphism from the n-th integral homology of SL(t,F) to the n-th homology of SL(t+1,F). We prove the following results: For all n, f(t,n) is an isomorphism if t is at least n+1, and is surjective for t=n, confirming a conjecture of C-H. Sah. Furthermore if n is odd, then f(n,n) is an isomorphism and when n is even the kernel of f(n,n) is the (n+1)st power of the fundamental ideal of the Witt Ring of the field.. If n is even, then the cokernel of f(n-1,n) is naturally isomorphic to the n-th Milnor-Witt K-group of F, MWK(n,F) and when n>2 is odd the cokernel of f(n-1,n) is the square of the nth Milnor K-group of F.

研究の動機と目的

• 特性が0の体 F における SL_t(F) のホモロジー安定性の範囲に関する C.-H. Sah の予想を解決すること。
• 臨界的な t と n における安定化写像 f_{t,n} = H_n(SL_t(F), ℤ) → H_n(SL_{t+1}(F), ℤ) の正確な核と余核を特定すること。
• Milnor-Witt K-理論が特殊線型群のホモロジーにおいて果たす役割を明確にすること。これは Suslin の GL_t(F) に関する結果の拡張である。
• SL_t(F) のホモロジーと代数的 K-理論不変量、特に I^{n+1}(F) および K^MW_n(F) の間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• GL_t(F) の場合に Suslin が用いた議論を SL_t(F) の場合に適応し、スペクトル系列とフィルトレーション技術を用いる。
• F^{t+1} のフラッグ複体に付随するスペクトル系列 E^r_{p,q} を用いて、SL_t(F) のホモロジーを分析する。
• H_n(SL_n(F), ℤ) 上のフィルトレーション F_{n,1} ⊂ F_{n,0} 及び関連する順次群を用いて、核と余核を計算する。
• 写像 ε_n: H_n(SL_n(F), ℤ) → K^MW_n(F) 及びそのスティーナロッド作用素と写像 T_n との整合性を用いる。
• n が偶数のとき、f_{n-1,n} の余核と K^MW_n(F) が自然に同型であること、n が奇数のとき 2K^M_n(F) に同型であることを利用する。
• Milnor-Witt K-理論が次数 1 で生成されることと、ε_n が積構造と整合することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C.-H. Sah が予想したように、安定化写像 f_{t,n}: H_n(SL_t(F), ℤ) → H_n(SL_{t+1}(F), ℤ) は t ≥ n+1 で同型であり、t = n で全射であるか？
• RQ2 n が偶数のとき、f_{n,n} の核は何か？ そして、F のウィット環とどのように関係するか？
• RQ3 n が偶数のとき、f_{n-1,n} の余核は何か？ そして、Milnor-Witt K-理論とどのように関係するか？
• RQ4 n ≥ 3 が奇数のとき、f_{n-1,n} の余核は何か？ そして、2K^M_n(F) に同型であるか？
• RQ5 H_n(SL_n(F), ℤ) から K^MW_n(F) への写像が、f_{n-1,n} の余核に対して同型を誘導するか？

主な発見

• 安定化写像 f_{t,n} は t ≥ n+1 で同型であり、t = n で全射である。これは Sah の予想を確認するものである。
• n が奇数のとき、写像 f_{n,n} は同型であるため、核は自明である。
• n が偶数のとき、f_{n,n} の核は I^{n+1}(F) に同型であり、これは F のウィット環の (n+1) 乗である。
• n が偶数のとき、f_{n-1,n} の余核は自然に K^MW_n(F) に同型であり、これは F の n 番目の Milnor-Witt K-理論群である。
• n ≥ 3 が奇数のとき、f_{n-1,n} の余核は自然に 2K^M_n(F) に同型であり、これは n 番目の Milnor K-群の 2- torsion 部分群である。
• スペクトル系列の解析により、奇数の n に対して E^∞_{n,1} が消えることが確認され、f_{n,n} の単射性が保証され、結果として同型が得られる。