[論文レビュー] Homology theory valued in the category of bicommutative Hopf algebras

Minkyu Kim|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、体$k$上の双可換ホップ代数のアーベル圏に値をとる一般化されたホモロジー理論を構築し、群ホップ代数や関数ホップ代数とは異なる非自明な例を導入する。主な結果は二つである：(1) 任意の双可換ホップ代数係数を持つ通常ホモロジー理論が存在すること、(2) 行列作用ホップ代数から指数関手を介して特異ホモロジー理論が生じることにより、Dijkgraaf-Witten や Turaev-Viro TQFT が厳密に一般化されること。

ABSTRACT

The codomain category of a generalized homology theory is the category of modules over a ring. For an abelian category A, an A-valued (generalized) homology theory is defined by formally replacing the category of modules with the category A. It is known that the category of bicommutative (i.e. commutative and cocommutative) Hopf algebras over a field k is an abelian category. Denote the category by H. In this paper, we give some ways to construct H-valued homology theories. As a main result, we give H-valued homology theories whose coefficients are neither group Hopf algebras nor function Hopf algebras. The examples contain not only ordinary homology theories but also extraordinary ones.

研究の動機と目的

• 体$k$上の双可換ホップ代数のアーベル圏に値をとる一般化されたホモロジー理論の開発。
• 群や関数ホップ代数から生じない非自明な$Ση$-値ホモロジー理論の構築。
• $\mathbb{F}_3$ や$\mathbb{F}_9$のような体上の有限次元で半単純かつ双可換なホップ代数で、非自明な構造を持つものの例の提供。
• ホップ代数値ホモロジーからのトポロジカル量子場理論（TQFT）の構築フレームワークの拡張。
• 代数的に閉体（例：$\mathbb{C}$）上では、すべてのこのようなホモロジー理論が自明であることを示し、体依存性を強調する。

提案手法

• 一般化されたホモロジーの被覆圏を$\mathsf{Mod}_R$から体$k$上の双可換ホップ代数のアーベル圏$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$に形式的に置き換える。
• 群ホップ代数関手を用いて自明なホモロジー理論を構築し、これは$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値ではあるが、構造的に新しいものではない。
• 任意の双可換ホップ代数$A$を係数とする通常ホモロジー理論$H_\bullet(-;A)$を構築し、任意の$A$に対してその存在を証明する。
• 双可換ホップ代数$A$が$L$-作用を持つとき、その指数関手を用いて$\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-値ホモロジー理論を$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値に持ち上げる。
• 双可換ホップ代数を明示的に構成し、$\mathbb{F}_3$上での基底代数$\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$に対して、余乗法、余単位、逆元の公式を用いる。
• 正規化された積分$\sigma_{D_1} = a$と正規化された余積分$\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$の存在により、半単純性と余半単純性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体$k$上の双可換ホップ代数の圏に値をとる一般化されたホモロジー理論を構築できるか？
• RQ2 群や関数ホップ代数から生じない非自明な$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値ホモロジー理論は存在するか？
• RQ3 特に有限体上での双可換ホップ代数が半単純かつ余半単純であるための条件は何か？
• RQ4 ホップ代数への体の作用が、指数関手を介して特異ホモロジー理論を構築するのにどのように寄与するか？
• RQ5 なぜ代数的に閉体（例：$\mathbb{C}$）上では、すべての$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値ホモロジー理論が自明になるのか？これはTQFT構築に何を意味するか？

主な発見

• 体$k$上の任意の双可換ホップ代数$A$に対して、$E_\bullet(-) = H_\bullet(-;A)$となる通常ホモロジー理論$E_\bullet$が存在し、$E_0(\mathrm{pt}) \cong A$を満たす。$A$が群ホップ代数や関数ホップ代数でない限り、この理論は非自明である。
• $k = \mathbb{F}_3$上では、基底代数$\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$に二つの同型でない双可換ホップ代数構造$D_1$と$D_2$を構成し、両方とも半単純かつ余半単純であり、$\dim_k D_1 = 3 + 9 + 9 = 21$である。
• $D_1$は唯一つの群的元$\eta$しか持たず、その双対は唯一つの群的元$\epsilon$しか持たないため、これは群ホップ代数ではないことが示される。
• 正規化された積分$\sigma_{D_1} = a$と正規化された余積分$\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$により、$D_1$が半単純かつ余半単純であることが確認される。
• 指数関手による構成により、$\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-値ホモロジー理論$F_\bullet$から$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値ホモロジー理論$(A,\alpha)^{F\bullet}$が得られ、$\dim_k A > 1$のとき、この理論が通常ホモロジー理論であるための必要十分条件は$F_\bullet$が通常ホモロジー理論であることである。
• 代数的に閉体（例：$\mathbb{C}$）上では、すべての$\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-値ホモロジー理論が自明であり、これは群ホップ代数や関数ホップ代数から生じるのみである。