[論文レビュー] Homology torsion growth and Mahler measure

Thang T. Q. Lê|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は代数的力学系と低次元トポロジーにおける2つの予想を証明する。K. Schmidtの代数的力学系における固定点成分の成長率に関する予想、およびSilverとWilliamsの結果の一般化である、リンク補殻のアーベル被覆におけるホモロジー捩れの成長に関する予想である。両者の極限は、関連するモジュールの最初の非ゼロアレクサンダー多項式のマーラー測度によって支配されることを示し、擬同型写像理論および可換代数と代数幾何学の道具を用いて捩れの場合に還元する。Bombieri–ZannierおよびLawton型の結果を用いて、明示的な数列を構成する。

ABSTRACT

We prove a conjecture of K. Schmidt in algebraic dynamical system theory on the growth of the number of components of fixed point sets. We also generalize a result of Silver and Williams on the growth of homology torsions of finite abelian covering of link complements. In both cases, the growth is expressed by the Mahler measure of the first non-zero Alexander polynomial of the corresponding modules. We use the notion of pseudo-isomorphism, and also tools from commutative algebra and algebraic geometry, to reduce the conjectures to the case of torsion modules. We also describe concrete sequences which give the expected values of the limits in both cases. For this part we utilize a result of Bombieri and Zannier (conjectured before by A. Schinzel) and a result of Lawton (conjectured before by D. Boyd).

研究の動機と目的

• 群環上の有限生成モジュールに対する代数的力学系における固定点集合の連結成分の数の漸近的成長率に関するK. Schmidtの予想を証明すること。
• 最初の非ゼロアレクサンダー多項式が0次のものでない場合に、リンク補殻のアーベル被覆におけるホモロジー捩れの成長率に関するSilverとWilliamsの結果を一般化すること。
• 固定点成分とホモロジー捩れの両方の成長率が、モジュールの最初の非ゼロアレクサンダー多項式のマーラー測度に丁度一致することを確立すること。
• 再帰と密度に関する数論的結果を用いて、極限の成長率に達する明示的な部分群の数列を構成すること。

提案手法

• 群環 $\mathbb{Z}[t_1^{\pm1}, \dots, t_n^{\pm1}]$ 上の有限生成モジュールの一般の場合を、擬同型写像の概念を用いて捩れモジュールの場合に還元する。
• 可換代数と代数幾何学の道具を用いてモジュール構造を分析し、アレクサンダー多項式と関連付ける。
• 捩れモジュールに対して既知のエントロピー公式 $h(M) = \mathbb{M}(\Delta_0(M))$ を用いて基本ケースを確立する。
• 最小ノルムが増加し、生成元が互いに素であるような $\mathbb{Z}^n$ の部分群 $\Gamma_{s,j}$ の数列を構成し、極限を近似する。
• Bombieri–Zannierの定理（Schinzelの予想）を用いて、単位球面上の特定の有理方向の稠密性を保証する。
• Lawtonの結果（Boydの予想）を用いて、整数ベクトルの数列に沿った対数的マーラー測度の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的力学系における固定点集合の連結成分の数の成長率は、捩れ部分モジュールのアレクサンダー多項式のマーラー測度に等しいか？
• RQ2 最初の非ゼロアレクサンダー多項式が $\Delta_0(L)$ でない場合に、アーベル被覆におけるホモロジー捩れの成長率に関するSilver–Williamsの結果を拡張できるか？
• RQ3 リンク補殻の有限アーベル被覆におけるホモロジー捩れの極限的成長率は、最初の非ゼロアレクサンダー多項式のマーラー測度に等しいか？
• RQ4 明示的な部分群の数列を構成し、その対数的捩れ成長率が関連する多項式のマーラー測度に収束するようにできるか？
• RQ5 擬同型写像は、漸近的成長率を計算する目的で、一般モジュールを捩れモジュールに還元するために果たす役割は何か？

主な発見

• K. Schmidtの固定点成分成長に関する予想が証明された：$\limsup_{\langle\Gamma\rangle\to\infty} \frac{\log P_\Gamma(\hat{M})}{|\mathbb{Z}^n / \Gamma|} = h(\mathfrak{tor}(M))$ であり、これは捩れ部分モジュールの0次のアレクサンダー多項式のマーラー測度に等しい。
• SilverとWilliamsの結果の一般化が確立された：リンク補殻に対して、$\limsup_{\langle\Gamma\rangle\to\infty} \frac{\log |\mathfrak{tor}_\mathbb{Z}(H_1(X_\Gamma,\mathbb{Z}))|}{|\mathbb{Z}^n / \Gamma|} = \mathbb{M}(\Delta(L))$ が成り立ち、ここで $\Delta(L)$ は最初の非ゼロアレクサンダー多項式である。
• $n=1$ の場合、両ケースにおける $\limsup$ は通常の極限に置き換えられ、絡み目の場合の収束が確認される。
• 最小ノルムが増加し、座標が互いに素である整数ベクトルを用いて、$\Gamma_{s,j_s}$ の明示的な数列が構成され、その結果、捩れ成長率がマーラー測度に収束する。
• 証明は、$\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^n / \Gamma_{s,j}] \otimes M$ が有限巡回群環上のモジュールになること、したがって1変数の場合に還元できることに依存している。
• 単位球面上の有理方向の稠密性とBombieri–Zannier/Lawtonの定理を用いて、数列に沿ったマーラー測度の収束を示した。