[論文レビュー] Homomorphisms, amenability and weak amenability of Banach algebras

M‎. ‎Eshaghi Gordji|ArXiv.org|Oct 3, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、他のバナッハ代数へのホモモーフィズムを用いて、バナッハ代数のアメニタリティおよび弱アメニタリティの同値条件を確立する。バナッハ代数 𝒜 がアメニタリティをもつことと、任意の単射ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 に対して、第一コホモロジー群 H¹(𝒜, 𝒷*ₚ) が消えることとは同値であることを証明し、ホモモーフィズムによって誘導される双加群と関連づける新しい特徴付けを導入する。さらに、第二双対とモジュール拡張を用いて、弱アメニタリティおよび超弱アメニタリティへと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we find some necessary and sufficient conditions for a Banach algebra to be amenable or weakly amenable, by applying the homomorphisms on Banach algebras.

研究の動機と目的

• 他のバナッハ代数へのホモモーフィズムを用いて、バナッハ代数のアメニタリティに関する新しい必要十分条件を提供すること。
• 弱アメニタリティおよび超弱アメニタリティの概念を、ホモモーフィズムによって誘導される双加群およびコホモロジーの消える性質に関連付けること。
• モジュール拡張バナッハ代数と第二双対構造を導入することで、既存のコホモロジー的特徴付けを一般化すること。
• 第二双対代数のアメニタリティが元の代数のアメニタリティ的性質に与える影響を調査すること。

提案手法

• ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 から双加群を構成するため、モジュール拡張バナッハ代数 X ⊕₁ 𝒜 を用いる。
• ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 に対して、𝒷*ₚ における双加群構造を定義する。ここで 𝒷*ₚ は φ によって誘導される 𝒜-双加群の双対である。
• コホモロジー的技法を適用する：H¹(𝒜, X*) = {0} がアメニタリティを特徴づけ、H¹(𝒜, 𝒜*) = {0} が弱アメニタリティを定義する。
• 第一アレンズ積を用いた第二双対 𝒜** を用い、導分を拡張し、双対空間におけるコホモロジーを分析する。
• ホモモーフィズム φ の第二転置 φ** を用いて、𝒜 のコホモロジーと 𝒜** のコホモロジーを関連付ける。
• 点導分およびその 𝒜** への拡張の概念を用い、非自明な連続点導分が存在しないことを研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単射ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 に対して H¹(𝒜, 𝒷*ₚ) = {0} が成り立つようなバナッハ代数 𝒜 に課される条件は何か？
• RQ2 ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 がどのように双加群を誘導し、それらがアメニタリティおよび弱アメニタリティを特徴付けるか？
• RQ3 𝒜** の超弱アメニタリティと 𝒜 の超弱アメニタリティとの関係は何か？
• RQ4 𝒜** のアメニタリティが 𝒜 のアメニタリティを示すための条件は何か？
• RQ5 すべての a,b ∈ 𝒜 に対して ⟨dφ(a), φ(b)⟩ + ⟨dφ(b), φ(a)⟩ = 0 が成り立つとき、dφ が内因的であることを示すための条件は何か？

主な発見

• バナッハ代数 𝒜 がアメニタリティをもつことと、任意の単射ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 に対して H¹(𝒜, 𝒷*ₚ) = {0} が成り立つことは同値である。
• 任意の単射ホモモーフィズム φ: 𝒜 → 𝒷 に対して H¹(𝒜, 𝒷*ₚ) = {0} が成り立ち、かつすべての導分 dφ について ⟨dφ(a), φ(b)⟩ + ⟨dφ(b), φ(a)⟩ = 0 が成り立つならば、dφ は内因的であるとすれば、𝒜 はアメニタリティをもつ。
• 第二双対 𝒜** が超弱アメニタリティをもつならば、𝒜 が条件 (i)–(iii)（例えば、𝒜 が 𝒜** の左イデアルであること、またはアレンズ正則であること）を満たす限り、𝒜 も超弱アメニタリティをもつ。
• 𝒜** が超弱アメニタリティをもつならば、𝒜 は本質的であり、非自明な連続点導分をもたない。
• 超弱アメニタリティをもつが、その双対の双対 𝒜# が超弱アメニタリティをもつが、𝒜 自身は超弱アメニタリティをもたないようなバナッハ代数 𝒜 が存在する。これは、アメニタリティ的性質における厳密な階層を示している。
• すべての双対双加群 X* に対して、コホモロジー群 H¹(𝒜, (X ⊕₁ 𝒜)*) が消える。これは、任意の導分 D: 𝒜 → X* が内因的であることを意味し、したがってアメニタリティが確立される。