[論文レビュー] Homomorphisms and principal congruences of bounded lattices

George Grätzer|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有界順序間の単調な {0,1}-写像について、その表現定理を確立する。具体的には、任意のこのような写像が、有界ラティス間の {0,1}-準同型写像から、その主合同値ラティスへの誘導写像として自然に得られることを示す。主な貢献は、任意の有界順序三つ組 (P, Q, ψ) が、ある有界ラティス K, L と {0,1}-準同型写像 φ: K → L に対して、(Princ K, Princ L, φ_Hom) として同型的に表現可能であるという構成的双対性の確立である。

ABSTRACT

Two years ago, I characterized the order $\Princl L$ of principal congruences of a bounded lattice $L$ as a bounded order. If $K$ and $L$ are bounded lattices and $\gf$ is a \zo homomorphism of $K$ into~$L$, then there is a natural isotone \zo-map $\gf_{\Hom}$ from $\Princl K$ into $\Princl L$. We prove the converse: For bounded orders $P$ and $Q$ and an isotone \zo map $\gy$ of $P$ into $Q$, we represent $P$ and $Q$ as $\Princl K$ and $\Princl L$ for bounded lattices $K$ and $L$ with a \zo homomorphism $\gf$ of $K$ into $L$, so that $\gy$ is represented as $\gf_{\Hom}$.

研究の動機と目的

• 有界ラティス間の {0,1}-準同型写像 φ から誘導される自然な写像 φ_Hom の逆を確立すること。
• 有界順序間の単調な {0,1}-写像のうち、どの写像が有界ラティスの主合同値ラティス上の写像として実現可能であるかを特徴づけること。
• 任意の有界順序三つ組 (P, Q, ψ) を、有界ラティスの主合同値ラティスとその間の準同型写像として、構成的に表現すること。
• Czédli の以前の部分ラティスに基づく表現を、より広い設定である準同型像へと拡張するため、洗練されたラティス構成法を用いること。

提案手法

• K における a ≤ b に対して、φ_Hom: Princ K → Princ L を φ_Hom(con_K(a,b)) = con_L(φ(a), φ(b)) で定義する。
• φ_Hom が適切に定義されており、単調かつ 0 と 1 を保存することを証明し、単調な {0,1}-写像であることを示す。
• Czédli の 0-分離写像に関する定理 2 を用いて、部分ラティスによる写像の合成を表現する。
• P と Q の直和として、0 と 1 を同一視する形で、有界順序 R = Top(P, Q, ψ) を構成する。
• 正しく合同関係を保つため、拡張された G(p,q)^Ext の構成法を適用する。
• G(p,q)^Ext の代わりに 4 要素の Equi(p) 部分ラティスを用いることで、各適合ペアあたりの要素数を 30 から 4 に削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有界順序間の単調な {0,1}-写像 ψ: P → Q が、ある有界ラティス K, L の主合同値ラティス上の誘導写像 φ_Hom として実現可能であるか。
• RQ2 Princ K ≅ P, Princ L ≅ Q, および φ_Hom ≅ ψ を満たすように、有界ラティス K, L と {0,1}-準同型写像 φ: K → L を構成的に構築する方法は存在するか。
• RQ3 順序三つ組を表現するためのラティス構成における要素数を、必要な合同関係を保ったまま最小化できるか。
• RQ4 Czédli の以前の可算ケースに関する研究と同様に、表現定理が可算ラティスおよび可算順序へと拡張可能か。

主な発見

• 任意の有界順序間の単調な {0,1}-写像 ψ: P → Q は、ある有界ラティス K, L と {0,1}-準同型写像 φ: K → L に対して、φ_Hom として表現可能である。
• K = Lat^Ext(P) および L = Lat^Ext(R) （R = Top(P, Q, ψ)）として構成され、拡張された G(p,q)^Ext ラティスを用いる。
• 複雑な部分ラティスを 4 要素の Equi(p) ラティスに置き換えることで、要素数を 15c_P + 15c_Q + 30n_P から 7c_P + 7c_Q + 4n_P に削減する。
• 写像 φ_Hom は適切に定義されており、順序構造と境界を保存するため、同型写像により Princ K ≅ P および Princ L ≅ Q が保証される。
• Czédli の 0-分離部分ラティス構成と整合性があり、ラティス準同型写像による写像の合成が可能である。
• 一般構成において、G(p,q)^Ext を G(p,q) に置き換えることは正しくないが、洗練されたバージョンでは G(p,q) で十分である。