[論文レビュー] Homomorphisms of abelian varieties

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Jun 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、アーベル多様体の自己準同型代数の中心が体であるような条件を確立し、特に素数 ℓ の点におけるガロア作用が十分に大きい場合、自己準同型代数が ℚ 上の中心的単純代数であることを証明する。主な結果は、自己準同型代数におけるCM型体の中心化部分代数が最大であるとき、アーベル多様体は絶対的単純なCM型アーベル多様体の自己積に同種であるということである。

ABSTRACT

We discuss Galois properties of points of prime order on an abelian variety that imply the simplicity of its endomorphism algebra. Applications to hyperelliptic jacobians are given. In particular, we improve some of our earlier results.

研究の動機と目的

• アーベル多様体の自己準同型代数の中心が体をとる条件を特定すること。
• ℓ- torsion 点におけるガロア表現と自己準同型代数の構造を結びつけること。
• アーベル多様体が絶対的単純アーベル多様体の自己積に同種であるための基準を確立すること。
• 複素乗法（CM）が自己準同型代数の構造を決定する役割を調査すること。
• 最大の中心化部分代数次元がCM型構造および単純アーベル多様体の自己積への同種を示すことの証明。

提案手法

• 素数 ℓ ≠ char(K) に対して、ℓ- torsion部分群 X_ℓ におけるガロア作用を分析し、GL_{2\dim(X)}(\mathbb{F}_\ell) 内の像 \tilde{G}_{\ell,X,K} を用いる。
• ガロア像が X_\ell 上で既約に作用するならば、\mathrm{End}^0(X) が \mathbb{Q} 上の中心的単純代数であるという事実を用いる。
• ℓ- torsion 点の定義体の線形的非交差性を用いて、非同種なアーベル多様体 X, Y に対して \mathrm{Hom}(X,Y) = 0 を示す。
• X が Z^d に同種であるとき、\mathrm{End}^0(X) \cong \mathrm{M}_d(\mathrm{End}^0(Z)) という同型を用い、自己準同型代数の中心を保存する。
• アーベルの分類およびホンダ＝タート理論を用いて、正標数における除法代数および超特異アーベル多様体を分類する。
• 次元数え上げと体埋め込みを用いて、最大の中心化部分代数次元が X を単一の絶対的単純アーベル多様体の自己積に同種にするように強制することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ- torsion 点におけるガロア理論的条件は何か？ そのとき \mathrm{End}^0(X) の中心が体である。
• RQ2 2つのアーベル多様体 X と Y の ℓ- torsion 点の定義体が線形的非交差するとき、\mathrm{Hom}(X,Y) = 0 がどのように導かれるか？
• RQ3 自己準同型代数におけるCM型体 E の中心化部分代数が最大であるとき、X が絶対的単純アーベル多様体の自己積に同種であるのはいつか？
• RQ4 自己準同型代数に次数 2\dim(X) の体 E が含まれるアーベル多様体がCM型であるための条件は何か？
• RQ5 底体の標数が、E がCM部分体を含まない場合に \mathrm{End}^0(X) の構造にどのように影響するか？

主な発見

• X_\ell 上でのガロア像が既約に作用するならば、\mathrm{End}^0(X) は \mathbb{Q} 上の中心的単純代数であり、その中心は体である。
• 2つのアーベル多様体 X と Y の ℓ- torsion 点の定義体が線形的非交差であり、かつガロア像が X_\ell 上で既約に作用するならば、\mathrm{Hom}(X,Y) = 0 である。
• X が体 E による複素乗法をもつとき、E における \mathrm{End}^0(X) の中心化部分代数の次元が \left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2 に等しいならば、X は絶対的単純アーベル多様体の自己積に同種である。
• 標数 0 では、\mathrm{End}^0(X) に次数 2\dim(X) の体 E が含まれるならば、E はCM体を含み、X はCM型である。
• 正標数では、E がCM部分体を含まないならば、X は超特異的であり、超特異楕円曲線のべきに同種である。
• \dim_E(\mathrm{End}^0(X,i)) = \left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2 が成り立つのは、X が単一の絶対的単純アーベル多様体の自己積に同種であるとき、かつそのときに限る。