[論文レビュー] Homomorphisms of abelian varieties over finite fields

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限群スキームを用いてフロベニウス自己準同型やディエュドネ加群に依存せずに、有限体上のアーベル多様体の自己準同型に関するタートの定理を統一的かつ自己完結的に証明する。2つのアーベル多様体が有限体上に同種であるための必要十分条件は、すべての素数ℓ（ℓ = pを含む）に対してそのω-可除群が同型であることであることを示し、同型なℓ-可除群を持つが非同型な楕円曲線の具体例を構成する。

ABSTRACT

These are notes of my lectures at the summer school "Higher-dimensional geometry over finite fields" in Goettingen, June--July 2007. We present a proof of Tate's theorem on homomorphisms of abelian varieties over finite fields (including the $\ell=p$ case) that is based on a "quaternion trick". In fact, a a slightly stronger version of those theorems with "finite coefficients" is proven.

研究の動機と目的

• 有限体上のアーベル多様体の自己準同型に関するタートの定理を統一的かつ自己完結的に証明すること。
• すべての素数ℓ（ℓ = pを含む）に対して、同種性とℓ-可除群の同型性の間の等価性を確立すること。
• ℓ ≠ p の場合にフロベニウス自己準同型に依存せず、ℓ = p の場合にディエュドネ加群に依存せず、代わりに有限群スキームと有限係数を用いること。
• すべてのℓに対して同型なℓ-可除群を持つが非同型な楕円曲線の具体例を構成すること。

提案手法

• 有限可換群スキームの性質（特に準同型の像と核の構造）を用いる。
• 有限体上のℓ-可除群（バロッティ＝テイト群）の理論を適用し、その同型型に焦点を当てる。
• nを法とする自己準同型の関係を、アーベル多様体の有限部分群スキームに関連付ける「クaternionのテクニック」を用いる。
• 中国剰余定理と虚二次体におけるイデアル論を用いて、所定の次数を持つ同種を構成する。
• 有限群部分スキームに関する重要な結果を用いて、すべてのnに対してn- torsion部分群が同型であるならば、ℓ-可除群も同型であることを示す。
• 標数体上のガロアモジュールとしての捩れ点の同型性が、対応する有限群スキームの同型性を意味することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の2つのアーベル多様体が同種であるための条件は何か？
• RQ2 すべての素数ℓ（ℓ = pを含む）に対して、2つのアーベル多様体がℓ-可除群を同型に持つのはいつか？
• RQ3 有限体上の非同型な楕円曲線が、すべてのℓに対して同型なℓ-可除群を持つことは可能か？
• RQ4 フロベニウス自己準同型やディエュドネ加群を用いずに、タートの定理をどのように証明できるか？
• RQ5 有限群スキームと有限係数は、有限体上のアーベル多様体間の自己準同型を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• 有限体上の2つのアーベル多様体が同種であるための必要十分条件は、すべての素数ℓ（ℓ = pを含む）に対してそのℓ-可除群が同型であることである。
• 任意の素数ℓに対して、ℓに割り切れない次数を持つ同種が存在し、それによって非同型な楕円曲線のℓ-可除群が同型になる。
• 有限体上の非同型な2つの楕円曲線のℓ-可除群は、すべてのℓ（ℓ = char(K)を含む）に対して同型になり得る。
• 有限体上の2つのアーベル多様体のn-捩れ部分群がすべてのnに対して同型であるための必要十分条件は、すべてのℓに対してそのℓ-可除群が同型であることである。
• 有限体上のアーベル多様体の$ar{K}$-点のガロアモジュールが同型であるための必要十分条件は、すべてのℓに対してそのℓ-可除群が同型であることである。
• ℓ-冪次数が制御された同種の構成は、類数が1より大きい虚二次体におけるイデアル論に依存する。