[論文レビュー] Homomorphisms of hyperelliptic jacobians

Yu. G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、特徴が 2 でない体上に定義された超楕円曲線のヤコビ多様体の間で、非自明なホモモーフィズムが存在しない条件を確立する。ガロア群の作用と自己準同型環の制約——特にガロア群が対称群や交代群である場合に——を用いて、このようなヤコビ多様体は非同種であり、ホモモーフィズム空間が自明であることを証明する。主な貢献は、ガロア論的および体論的条件に基づく、超楕円ヤコビ多様体間のホモモーフィズムの消失に関する一般基準の確立である。

ABSTRACT

In his previous papers (Math. Res. Letters 7 (2000), 123--13; Progress in Math. 195 (2001), 473--490; Math. Res. Letters 8 (2001), 429--435; Moscow Math. J. 2 (2002), issue 2, 403-431; Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 1, 95--102) the author introduced certain explicit constructions of hyperelliptic jacobians without nontrivial endomorphisms. In the present paper we discuss when these jacobians are mutually non-isogenous. In addition, a special case ($n=m=3$) of our Theorem 1.2 provides the following criterion for elliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$ to be non-isogenous. (Here $f(x)$ and $h(x)$ are cubic polynomials with coefficients in a field $K$ of characteristic zero.) Suppose that $f(x)$ and $h(x)$ are irreducible over $K$, their Galois groups over $K$ coincide with the full symmetric group $S_3$, and their splitting fields are linearly disjoint over $K$. Then the elliptic curves $C_f$ and $C_h$ are non-isogenous over an algebraic closure of $K$.

研究の動機と目的

• 特徴が 2 でない体上に定義された超楕円曲線のヤコビ多様体の間で、非自明なホモモーフィズムが存在しない条件を特定すること。
• ガロア群の作用と自己準同型環を用いて、超楕円ヤコビ多様体間のホモモーフィズム空間の構造を分析すること。
• 既存の超楕円ヤコビ多様体の自己準同型環に関する結果を、異なるヤコビ多様体間のホモモーフィズムへと拡張すること。
• 特定のガロア群および体の線形的離隔条件の下で、ヤコビ多様体が非同種であり、ホモモーフィズム空間が自明であることを確立すること。

提案手法

• 定義多項式のガロア群を用いて、根への作用と分解体の構造を分析する。
• 特に自己準同型環とホモモーフィズム群に注目した、代数閉体上のアーベル多様体の理論を適用する。
• 分解体が線形的に離隔しているという条件を用いて、異なる曲線におけるガロア作用の独立性を保証する。
• 既知の自己準同型環に関する結果——特に n ≥ 5 のとき Gal(f) = S_n または A_n ならば End(J(C_f)) = ℤ である（正の特性では n ≥ 9）——を活用する。
• X と Y が同種でない限り、dim(X) ≥ dim(Y) かつ End(X) = ℤ ならば Hom(X,Y) = 0 であるという事実を適用する。
• p進ニュートン多角形と分岐指数を用いた体の同型判定基準を用いて、ガロア群が等しい場合の分解体を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が 2 でない体上に定義された二つの超楕円曲線のヤコビ多様体の間に、非自明なホモモーフィズムが存在しない条件は何か？
• RQ2 定義多項式のガロア群は、超楕円ヤコビ多様体間のホモモーフィズム空間の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 どのような条件下で、体上の二つの超楕円ヤコビ多様体は非同種であり、ホモモーフィズム空間が自明であるか？
• RQ4 分解体の線形的離隔性とガロア群の型（S_n または A_n）を用いて、ホモモーフィズム空間の消失を保証できるか？
• RQ5 分解体の分岐性の性質は、体を区別し、ヤコビ多様体間のホモモーフィズムを自明にするために果たす役割は何か？

主な発見

• 定義多項式のガロア群が S_n または A_n であり、分解体が線形的に離隔している場合、Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0 かつ Hom(J(C_h), J(C_f)) = 0 である。
• n ≥ 5 および m ≥ 3 の場合、f や h がそれぞれ S_m や A_m、S_n や A_n をガロア群とする既約多項式であり、分解体が線形的に離隔しているとき、ヤコビ多様体の間には非自明なホモモーフィズムが存在しない。
• n ≠ m であるか、Gal(f) = S_n かつ Gal(h) = A_m である場合、ヤコビ多様体の次元が同じであっても、ホモモーフィズム空間は消える。
• ℚ 上の多項式 exp_n(x) = ∑_{i=0}^n x^i/i! に対して、4∤n のときガロア群は S_n、4|n のときは A_n である。n > 6 のとき、y² = exp_n(x) と y² = f_n(x) のヤコビ多様体の間のホモモーフィズム空間は自明である。
• 正の特性において、f(x) = x^n + tx + 1 および h(x) = x^n + x + t に対して、n = (q^d - 1)/(q - 1) のとき、ガロア群はそれぞれ PSL(d,q) と PGL(d,q) であり、(q,d) ≠ (3,4) ならば Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0 である。
• K_f = K[x]/fK[x] と K_h = K[x]/hK[x] は、その整数環における分岐指数が異なる限り非同型であり、これによりコロナリー1.5を介してヤコビ多様体間のホモモーフィズム空間が自明であることが示される。