[論文レビュー] Homoscedasticity tests for both low and high-dimensional fixed design regressions

Zhidong Bai, Guangming Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最小二乗法の残差から導かれる変動係数に基づく検定統計量の漸近正規性を確立することで、低次元および高次元の固定設計設定における線形回帰モデルの同分散性の検定を提案する。この手法は、ハット行列を用いることで、固定設計または確率的設計の両方において有効性を保証し、同分散性の帰無仮説を仮定しないままでも漸近正規性を示す。これにより、同分散性が前提とされない状況でも高い検出力を持つ。

ABSTRACT

This paper is to prove the asymptotic normality of a statistic for detecting the existence of heteroscedasticity for linear regression models without assuming randomness of covariates when the sample size $n$ tends to infinity and the number of covariates $p$ is either fixed or tends to infinity. Moreover our approach indicates that its asymptotic normality holds even without homoscedasticity.

研究の動機と目的

• 高次元線形回帰における固定設計行列および確率的設計行列の両方において有効な同分散性検定を開発すること。
• 帰無仮説下で同分散性を仮定しない条件下でも、残差の変動係数に基づく検定統計量の漸近正規性を確立すること。
• 独立同分布の共変数の仮定を不要とするように、既存の高次元同分散性検定を拡張し、固定設計下でも有効性を保証すること。
• 異分散性が存在する場合でも検定統計量の漸近正規性を示すことで、同分散性検定の検出力を向上させること。

提案手法

• 検定統計量 T は、二乗OLS残差の標準化された尖度として定義され、定常分散からの逸脱を測定する。
• T の漸近分布は、ハット行列 P を用いて変換された残差ベクトルの一次および二次モーメントに基づき、デルタ法を用いて導出される。
• 導出は、高次元確率的ベクトルの四次および八次モーメントが有界であるという仮定に基づき、二次形式の同時漸近モーメントに依存する。
• ハット行列 P を用いて残差の分布を Pε として表現することで、独立同分布の共変数の仮定を不要とし、固定設計下での解析を可能にする。
• 証明は、誤差ベクトルの四次および八次モーメントのモーメント展開と組み合わせ的分解を用い、射影行列による依存構造を考慮する。
• 共変数の分布的仮定を避けて、ハット行列の構造に焦点を当てることで、固定設計および確率的設計の両方の設定に適用可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元回帰における固定設計行列の下でも有効な同分散性検定を構築できるか？
• RQ2 共変数の数 p が標本サイズ n と共に増加する場合、残差の変動係数検定統計量が漸近正規性を満たすか？
• RQ3 異分散性が存在する場合でも、検定統計量の漸近正規性が保たれるか？これにより高い検出力が得られるか？
• RQ4 独立同分布または正規分布の共変数の仮定なしに、検定を正当化できるか？
• RQ5 同分散性の帰無仮説下での検定統計量の明示的な漸近平均および漸近分散は何か？

主な発見

• 帰無仮説下で同分散性が成り立つ場合、T は漸近的に正規分布に従う。これは p/n → y ∈ [0,1) を満たす高次元領域をカバーする。
• 同分散性を仮定しない状況でも T の漸近正規性が成立するため、異分散性を検出するための高い統計的検出力が保証される。
• T の漸近平均は 3n·tr(P∘P)/((n−p)² + 2(n−p)) − 1 に近似され、分散はハット行列のモーメントから導出される。
• 導出がハット行列 P の構造のみに依存するため、固定設計行列の下でも検定は有効である。
• 誤差分布が正規でない場合でも、八次モーメントが有界であれば、検定統計量の漸近分布は頑健である。
• 古典的検定（Breusch-Pagan 検定や White 検定）を一般化し、固定設計下でも非漸近的かつ高次元的根拠を提供する。