[論文レビュー] Homotopical Algebraic Geometry II: geometric stacks and applications

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Apr 21, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、モデル圏を用いて、導来的・複素的・真新しい設定へと代数的スタックを一般化する、ホモトピー的代数幾何学における幾何的スタックの統一的枠組みを導入する。対称モノイド的モデル圏上での幾何的スタックの強固な理論を確立し、障害理論を用いた代表可能性の基準を証明し、例えばDスタックとしての局所系のスタックやオペラド上の代数のスタックといった、導来的代数幾何学における幾何的対象を導出する。

ABSTRACT

This is the second part of a series of papers devoted to develop Homotopical Algebraic Geometry. We start by defining and studying generalizations of standard notions of linear and commutative algebra in an abstract monoidal model category, such as derivations, etale and smooth maps, flat and projective modules, etc. We then use the theory of stacks over model categories introduced in \cite{hagI} in order to define a general notion of geometric stack over a base symmetric monoidal model category C, and prove that this notion satisfies the expected properties. The rest of the paper consists in specializing C to several different contexts. First of all, when C=k-Mod is the category of modules over a ring k, with the trivial model structure, we show that our notion gives back the algebraic n-stacks of C. Simpson. Then we set C=sk-Mod, the model category of simplicial k-modules, and obtain this way a notion of geometric derived stacks which are the main geometric objects of Derived Algebraic Geometry. We give several examples of derived version of classical moduli stacks, as for example the derived stack of local systems on a space, of algebra structures over an operad, of flat bundles on a projective complex manifold, etc. Finally, we present the cases where C=(k) is the model category of unbounded complexes of modules over a char 0 ring k, and C=Sp^Σ the model category of symmetric spectra. In these two contexts, called respectively Complicial and Brave New Algebraic Geometry, we give some examples of geometric stacks such as the stack of associative dg-algebras, the stack of dg-categories, and a geometric stack constructed using topological modular forms.

研究の動機と目的

• モデル圏を用いたホモトピー的代数幾何学における幾何的スタックの一般理論を構築すること。
• 古典的な代数的スタック、導来スタック、位相的スタックの概念を、単一の枠組みで統一・一般化すること。
• 障害理論およびホモトピー的上げ上げ性質を用いて、Dスタックの代表可能性基準を確立すること。
• 導来的および高階圏的設定における古典的モジュライ問題の幾何的実現を提供すること。
• 単体的、dg、スプライタル設定を含むホモトピー的文脈へのポイント関手のアプローチを拡張すること。

提案手法

• 対称モノイド的モデル圏における線形的および可換代数の形式化、特に微分、余接複体、および有限性条件の取り扱い。
• ホモトピー的意味での降下性および局所的代表可能性を満たすモデルサイト上のスタックとして幾何的スタックを定義。
• ホモトピー・ファイバーと障害群の消失を用いて、切断からのアトラスの滑らかな上げを障害理論を用いて構成。
• Lurieの後続の基準を用い、Dスタックが代表可能であるための条件として、その0-切断が代表可能であり、適切な次数で障害群が消失することを証明。
• 導来的代数幾何学の技法を活用し、切断上の代表的スタックのホモトピー極限として幾何的Dスタックを構成。
• 具体的な文脈への適用：単体的k加群（導来スタック）、有界でない複体（複素スタック）、対称スペクトル（真新しいスタック）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル圏を用いて、代数的スタックの概念を導来的およびホモトピー的設定へ一般化する方法は何か？
• RQ2 導来的またはホモトピー的設定においてスタックが代表可能であるための条件は何か？
• RQ3 高階スタックにおいて、障害群はアトラスの滑らかな上げの存在をどのように制御するか？
• RQ4 導来的代数幾何学における古典的モジュライ問題（例：局所系、オペラド上の代数）の幾何的実現は何か？
• RQ5 DスタックおよびSスタックの文脈において、滑らかさ、エタール的準同型、平坦性の概念はどのように拡張されるか？

主な発見

• 本論文は、対称モノイド的モデル圏上での幾何的スタックの一般的概念を確立し、降下性や局所的代表可能性といった期待される性質を満たすことを示した。
• ホモトピー的上げプロセスを用いて、Dスタックが代表可能であるための十分条件として、その0-切断が代表可能であり、適切な次数で障害群が消失することを証明した。
• 空間上の局所系のDスタックが幾何的Dスタックであることが示され、古典的な局所系のモジュライ空間を一般化した。
• オペラド上の代数のDスタックが幾何的Dスタックとして構成され、代数的構造の導来的モジュライ空間を提供した。
• 複素射影多様体上の平坦バンドルのDスタックが幾何的Dスタックとして実現され、古典的なモジュライ理論を拡張した。
• 対称スペクトルの文脈において、トポロジカルモジュラー形式を用いて幾何的Sスタックが構成され、代数幾何学と安定ホモトピー論を結びつけた。