[論文レビュー] Homotopical Intersection Theory, II: equivariance

John R. Klein, Bruce Williams|ArXiv.org|Mar 2, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限群作用を伴う多様体上の-equivariant 交差問題に対して、パラメータ付き-equivariant スペクトルを用いて横断性の問題を回避するホモトピー論的障害理論を展開する。主な結果は、同相写像 $ f: P \to N $ が $ G $-部分多様体 $ Q $ から変形可能であるための完全な障害 $ e_G(f) \in H^0_G(P; \mathcal{E}(i_Q)) $ であり、これは $ G $-部分多様体 $ Q $ から離れる同相ホモトピー的変形が可能であることと同値であり、同相的メタ安定範囲では十分性が保証される。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers. Here we develop here an intersection theory for manifolds equipped with an action of a finite group. As in our previous paper, our approach will be homotopy theoretic, enabling us to circumvent the specter of equivariant transversality. This theory has applications to embedding problems, equivariant fixed point theory and the problem of enumerating the periodic points of a self map of a compact smooth manifold.

研究の動機と目的

• 有限群作用を伴う設定におけるホモトピー論的交差理論を拡張すること。
• -equivariant 横断性の失敗を、ホモトピー論的道具を用いることで克服すること。
• -equivariant 埋め込み問題および固定点問題を解くための完全な障害を、-equivariant コhomology に構成すること。
• 理論を周期的点問題および-equivariant 動力学におけるニールセン数の予想に応用すること。

提案手法

• 包含写像 $ i_Q: Q \subset N $ から、$ N $ 上のナーブなパラメータ付き $ G $-スペンクトル $ \mathcal{E}(i_Q) $ を構成する。
• 写像 $ f: P \to N $ を用いて、-equivariant 障害類 $ e_G(f) \in H^0_G(P; \mathcal{E}(i_Q)) $ を定義する。
• -equivariant ポアンカレ双対性および補集合公式を用いて、障害を安定正規データに関連付ける。
• tom Dieck の分割定理を適用して、-equivariant ボードィズム群を固定点成分に分解する。
• インデックス関数のプッシュフォワードおよびプルバックを用いて、$ G $-空間全体にわたる同相性データを追跡する。
• フレームドボードィズムによるホモトピー纤维積との関連を介して、障害とニールセン数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 何時、-equivariant 写像 $ f: P \to N $ が $ G $-部分多様体 $ Q \subset N $ を避けるように変形可能となるか？
• RQ2 メタ安定範囲において、このような-equivariant 交差問題を解くための完全な障害は何か？
• RQ3 障害 $ e_G(f) $ は、周期的点理論における古典的不変量であるニールセン数とどのように関係するか？
• RQ4 障害は、フレームドボードィズムの観点から、$ n $-周期的点をもたない写像の存在を検出できるか？
• RQ5 障害 $ e_G(f) $ は、ニールセン数 $ N(f^k) $ の消滅と同値か？

主な発見

• 障害 $ e_G(f) \in H^0_G(P; \mathcal{E}(i_Q)) $ が消えることは、すべての $ (H) \in \mathcal{I}(G;P) $ に対して $ p^H \leq 2f^*(i_Q)_!\operatorname{cd}_H(i_Q) - 3 $ を満たす条件下で、$ f $ が $ Q $ と交差しないように同相ホモトピー的に変形可能であることと同値である。
• 障害 $ e_G(f) $ はパラメータ付き $ G $-スペンクトル $ \mathcal{E}(i_Q) $ から構成され、横断性に依存しないホモトピー論的アプローチを可能にする。
• 不変量 $ \ell_n(f) \in \Omega_0^{\mathbb{Z}_n, \text{fr}}(\text{ho}P_n(f)) $ は $ n $-周期的点をもたない写像を検出でき、$ \dim M \geq 3 $ のとき $ \ell_n(f) = 0 $ であればそのようなホモトピーが存在することを示す。
• $ \mathcal{N}_k(f) $（$ \ell_n^k(f) $ の非ゼロ項の数）がニールセン数 $ N(f^k) $ に等しいという予想は、同型 $ \pi_0(E\mathbb{Z}_k \times_{\mathbb{Z}_k} \text{ho}P_k(f)) \cong \pi_{\rho,k} $ によって支持される。
• tom Dieck の分割定理により、-equivariant ボードィズム群が同相性部分群によってインデックスが付与された成分に分解可能となり、固定点データに基づいて障害の計算が可能になる。
• 定理 J の証明により $ \pi_0(E\mathbb{Z}_k \times_{\mathbb{Z}_k} \text{ho}P_k(f)) \cong \pi_{\rho,k} $ が示され、障害とニールセン理論との関連が確認された。