[論文レビュー] Homotopy abelianity of the DG-Lie algebra controlling deformations of pairs (variety with trivial canonical bundle, line bundle)

Donatella Iacono, Marco Manetti|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、標準束が自明な滑らかで射影的代数多様体 X とその上の線束 L の対 (X, L) の変形を制御する微分的階付きリー代数（DG-Lie代数）がホモトピー的アーベルであることを証明する。証明では、X 上のP¹バンドル Y と滑らかな除集合 ∆ を構成し、(Y, ∆) が対数カバリエ・ヤウ対（log Calabi-Yau pair）であるようにし、(X, L) のDG-Lie代数と (Y, ∆) のDG-Lie代数の間の準同型を確立する。主な結果は、このような対の変形が非障害的であることであり、ボゴモロフ＝ティアン＝トドロフの定理を対 (X, L) に一般化する。

ABSTRACT

We investigate the deformations of pairs (X,L), where L is a line bundle on a smooth projective variety X, defined over an algebraically closed field of characteristic 0. In particular, we prove that the DG-Lie algebra controlling the deformations of the pair (X,L) is homotopy abelian whenever X has trivial canonical bundle, and so these deformations are unobstructed.

研究の動機と目的

• X が標準束が自明な滑らかで射影的代数多様体であり、L がその上の線束であるような対 (X, L) の変形を制御するDG-Lie代数のホモトピー的アーベル性を確立すること。
• 導来代数幾何学を用いた変形理論の分析を通じて、X におけるボゴモロフ＝ティアン＝トドロフの非障害的結果を X から対 (X, L) に一般化すること。
• 変形函子が滑らかであることを示すことで、(X, L) の変形函子が制御するDG-Lie代数がアーベルなものと quasi-isomorphic であることを示すこと。

提案手法

• X 上のP¹バンドル Y = P(O_X ⊕ L) を構成し、滑らかな除集合 ∆ = ∆₀ + ∆∞ を備える。
• X が標準束を自明に持つならば、(Y, ∆) は対数カバリエ・ヤウ対（log Calabi-Yau pair）である、すなわち KY + ∆ ≡ 0 が成り立つことを示す。
• D(X, L) と p*Θ_Y(−log ∆) の間の自然な O_X-線型なリー代数の層同型 Ψ: D(X, L) ≅ p*Θ_Y(−log ∆) を確立する。ここで D(X, L) は対の微分作用素の層である。
• トム＝ホイトニー＝サリヴァンの総合化（Thom-Whitney-Sullivan totalization）を用いて、導来全体切断 RΓ(X, D(X, L)) と RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) をDG-Lie代数としてモデル化する。
• 写像 Ψ がDG-Lie代数 RΓ(X, D(X, L)) と RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) の間の準同型を誘導することを証明する。
• 既知の対数カバリエ・ヤウ対に関する結果を適用し、RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) がホモトピー的アーベルであることを結論づけ、したがって RΓ(X, D(X, L)) に対しても同様にホモトピー的アーベルであることを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準束が自明な X を持つ対 (X, L) の変形を制御するDG-Lie代数は、ホモトピー的アーベルか？
• RQ2 X 上のP¹バンドルを用いた幾何的構成を通じて、(X, L) の変形の非障害的性が確立可能か？
• RQ3 適切な幾何的拡張の下で、(X, L) の変形理論は対数カバリエ・ヤウ対 (Y, ∆) のそれと同値になるか？
• RQ4 一階微分作用素の層 D¹(L) は、(X, L) の変形函子を制御する上で果たす役割は何か？
• RQ5 D(X, L) と p*Θ_Y(−log ∆) の間の準同型が、ホモトピー的アーベル性の証明をどのように支援するか？

主な発見

• X が標準束を自明に持つ限り、対 (X, L) の変形を制御するDG-Lie代数はホモトピー的アーベルである。
• P¹バンドル Y = P(O_X ⊕ L) と除集合 ∆ = ∆₀ + ∆∞ の構成により、X がカバリエ・ヤウであるとき、(Y, ∆) は対数カバリエ・ヤウ対である。
• 自然な O_X-線型なリー代数の層同型 Ψ: D(X, L) → p*Θ_Y(−log ∆) が存在する。
• 写像 Ψ はDG-Lie代数 RΓ(X, D(X, L)) と RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) の間の準同型を誘導する。
• (Y, ∆) が対数カバリエ・ヤウ対であるため、RΓ(Y, Θ_Y(−log ∆)) はホモトピー的アーベルであり、したがって RΓ(X, D(X, L)) に対しても同様にホモトピー的アーベルである。
• その結果、(X, L) の変形函子は滑らかであり、すなわちこのような対の変形は非障害的である。