[論文レビュー] Homotopy Algebras via Resolutions of Operads

Martin Markl|ArXiv.org|Aug 23, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、操作代数の最小モデルを用いたホモトピー代数の体系的枠組みを導入し、ホモトピーP代数が与えられた操作代数Pの最小モデル上の微分付き代数であることを確立する。主な貢献はホモトピー安定性原理である：基礎となる複体間のホモロジー同型は、ホモトピーP代数の写像に引き上げ可能であり、これはA(∞)-代数に対するKadeishviliの定理を一般化する。

ABSTRACT

The aim of this brief note is mainly to advocate our approach to homotopy algebras based on the minimal model of an operad. Our exposition is motivated by two examples which we discuss very explicitly - the example of strongly homotopy associative algebras and the example of strongly homotopy Lie algebras. We then indicate what must be proved in order to show that these homotopy algebraic structures are really `stable under a homotopy.' The paper is based on a talk given by the author on June 16, 1998, at University of Osnabrueck, Germany.

研究の動機と目的

• ホモトピー代数を操作代数Pの最小モデル上の代数として形式化し、A(∞)-代数および関連構造を統一的な枠組みで扱う。
• 基礎となる複体のホモトピー同値がホモトピーP代数の写像に与える安定性を正当化する。
• Kadeishviliの定理をホモトピー代数の一般設定に拡張し、チェーン代数のホモロジーが一貫性のあるA(∞)-構造を備えることを示す。
• ホモトピーP代数の圏の基礎的性質を確立し、ホモロジー同型が高次代数的構造に引き上げられることを示す。
• ホモトピー代数のホモトピー論的性質を概念的基盤として提供し、A(∞)-代数およびKoszul操作代数への応用を含む。

提案手法

• ホモトピーP代数を、操作代数Pの最小モデル作用を持つ微分付きベクトル空間として定義する。
• 微分付き操作代数の最小モデルの存在と一意性を用いて、任意の操作代数Pの自然な分解を構成する。
• 最小モデルを、高次ホモトピー整合性データを符号化する微分を持つ、二重次数付き自由操作代数として表現する。
• ホモロジー同型 g: (A,∂) → (B,∂) を、BにおけるホモトピーP代数構造および f: A → B で f₁ = g を満たすホモトピーP代数写像に引き上げる。
• Perturbation Lemmaおよび関連するホモロジー論的技法を用いて、ホモトピー同値の下でのホモトピー代数構造の安定性を証明する。
• A(∞)-代数の公理が、結合的操作代数Assの最小モデルとして自然に導かれることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー代数は操作代数の最小モデルを用いて体系的に定義可能であり、A(∞)-代数のような既存の構成を統一的に扱える枠組みを提供するか？
• RQ2 二つのホモトピーP代数の基礎となる複体間のホモロジー同型が、ホモトピーP代数写像に引き上げられる条件は何か？
• RQ3 操作代数の最小モデルが、チェーン代数のホモロジーに一貫性のあるA(∞)-構造を自然に導く方法を提供するか？
• RQ4 ホモトピーP代数構造は、基礎となる微分付きベクトル空間のホモトピー同値の下でどの程度安定的か？
• RQ5 A(∞)-代数の公理は、結合的操作代数Assの最小モデルからどのように導かれるか？

主な発見

• ホモトピーP代数は、操作代数Pの最小モデル上の微分付き代数として定義され、自然かつファンクター的な構成が可能である。
• 微分付き操作代数の最小モデルは存在し、同型を除いて一意であるため、操作代数の体系的分解が可能である。
• 任意のチェーン代数 (C,∂) に対して、ホモロジー H(C) は µ₂ がCの積から誘導されるA(∞)-構造を備える。これはKadeishviliの定理を一般化する。
• ホモトピーP代数の基礎となる複体間のホモロジー同型 g: (A,∂) → (B,∂) は、f₁ = g を満たすホモトピーP代数写像 f: A → B に引き上げ可能である。
• ホモトピーP代数写像 f: A → B がその第一成分 f₁ でホモロジー同型である場合、任意のホモロジー逆写像 g: B → A はホモトピーP代数構造を備える。
• この枠組みはKoszul双対性と整合性を示し、Koszul二次操作代数に対してGinzburg-Kapranovの定義が回復される。