[論文レビュー] Homotopy categories and idempotent completeness, weight structures and weight complex functors

Olaf M. Schnürer|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、任意の加法的圏 $\mathcal{A}$ に対して、ホモトピー圏 $K(\mathcal{A})$ の部分圏 $K(\pi)^{w\leq n}$, $K(\pi)^{w\geq n}$, $K(\pi)^{-}$, $K(\pi)^{+}$ がすべてイデムポテン完全であることを確立し、$(K(\mathcal{A})^{w\leq 0}, K(\mathcal{A})^{w\geq 0})$ が重み構造をなすことを確認した。さらに、三角圏 $\mathcal{T}$ に有界な重み構造 $w$ がフィルトレートされた三角圏の増強 $\widetilde{\mathcal{T}}$ を持つ場合、$\widetilde{\mathcal{T}}$ に対して新たな技術的公理を課すことにより、強重み複体関手 $\mathcal{T} \to K(\heartsuit(w))^{\operatorname{anti}}$ の存在を示した。これは、心のホモトピー圏を用いた重み構造の実現に基礎的な道具を提供する。

ABSTRACT

This article provides some basic results on weight structures, weight complex functors and homotopy categories. We prove that the full subcategories K(A)^{w < n}, K(A)^{w > n}, K(A)^- and K(A)^+ (of objects isomorphic to suitably bounded complexes) of the homotopy category K(A) of an additive category A are idempotent complete, which confirms that (K(A)^{w <= 0}, K(A)^{w >= 0}) is a weight structure on K(A). We discuss weight complex functors and provide full details of an argument sketched by M. Bondarko, which shows that if w is a bounded weight structure on a triangulated category T that has a filtered triangulated enhancement T' then there exists a strong weight complex functor T -> K(heart(w))^{anti}. Surprisingly, in order to carry out the proof, we need to impose an additional axiom on the filtered triangulated category T' which seems to be new.

研究の動機と目的

• 任意の加法的圏 $\mathcal{A}$ に対して、ホモトピー圏 $K(\mathcal{A})$ の全部分圏 $K(\mathcal{A})^{w\leq n}$, $K(\mathcal{A})^{w\geq n}$, $K(\mathcal{A})^{-}$, $K(\mathcal{A})^{+}$ のイデムポテン完全性を確立すること。
• $K(\mathcal{A})^{w\leq 0}$ と $K(\mathcal{A})^{w\geq 0}$ が定義する部分圏のイデムポテン完全性を検証することで、$(K(\mathcal{A})^{w\leq 0}, K(\mathcal{A})^{w\geq 0})$ が $K(\mathcal{A})$ 上に重み構造をなすことを確認すること。
• 有界重み構造 $w$ を持つ三角圏 $\mathcal{T}$ がフィルター化された三角圏の増強 $\widetilde{\mathcal{T}}$ を持つ場合、$\widetilde{\mathcal{T}}$ に新たな公理を課すことにより、強重み複体関手 $\mathcal{T} \to K(\heartsuit(w))^{\operatorname{anti}}$ の存在を完全に証明すること。
• M. Bondarkoが弱重み複体関手を強重み複体関手に上げる際のスケッチされた議論を明確化し、完全に補完すること。

提案手法

• R. W. Thomason や P. Balmer–M. Schlichting の技術を用いた構成的証明により、$K(\mathcal{A})^{w\leq n}$ および $K(\mathcal{A})^{w\geq n}$ のイデムポテン完全性を、ホモトピー圏における再帰的閉包によって示す。
• $K(\mathcal{A})$ の三角圏構造と切り出し三角形の性質を用いて、再帰的閉包およびイデムポテンスの持ち上げの閉包性を検証する。
• 重みフィルトレーションとホモトピー群の適合性を保証するため、フィルター化された三角圏 $\widetilde{\mathcal{T}}$ に新たな公理を導入する。
• $\sigma$-切り出し三角形および重み関手 $w_{\leq n}$, $w_{\geq n}$ を用いて、$\widetilde{\mathcal{T}}$ 内の対象を分解し、重み構造を再構成する。
• グレーディング関手 $\operatorname{gr}^j$ および重み関手 $\omega$ を用いて、$\widetilde{\mathcal{T}}$ 内の対象の成分を分析し、重みフィルトレーションの適合性を検証する。
• $\mathcal{T}$ から $\widetilde{\mathcal{T}}$ への重み分解の上げを保証するため、$3\times 3$-図式の三角形を構成し、重み構造の公理と適合するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の加法的圏 $\mathcal{A}$ に対して、部分圏 $K(\mathcal{A})^{w\leq n}$ および $K(\mathcal{A})^{w\geq n}$ はイデムポテン完全か？
• RQ2 $K(\mathcal{A})$ 上の標準的重み構造 $(K(\mathcal{A})^{w\leq 0}, K(\mathcal{A})^{w\geq 0})$ は重み構造の公理を満たすか？
• RQ3 弱重み複体関手 $\mathcal{T} \to K_{\operatorname{weak}}(\heartsuit(w))$ が、どのような条件下で強重み複体関手 $\mathcal{T} \to K(\heartsuit(w))^{\operatorname{anti}}$ に上げられるか？
• RQ4 強重み複体関手の存在を保証するため、フィルター化された三角圏の増強 $\widetilde{\mathcal{T}}$ に必要な追加の公理は何か？
• RQ5 $\mathcal{T}$ 上の重み構造は、$\widetilde{\mathcal{T}}$ 上に適合する重み構造に上げられるか？

主な発見

• 任意の加法的圏 $\mathcal{A}$ に対して、再帰的閉包と三角圏の技術を用いた構成的証明により、部分圏 $K(\mathcal{A})^{w\leq n}$ および $K(\mathcal{A})^{w\geq n}$ がイデムポテン完全であることが示された。
• $K(\mathcal{A})^{w\leq 0}$ と $K(\mathcal{A})^{w\geq 0}$ が定義する部分圏のイデムポテン完全性のおかげで、$K(\mathcal{A})$ 上の標準的重み構造 $(K(\mathcal{A})^{w\leq 0}, K(\mathcal{A})^{w\geq 0})$ が有効な重み構造であることが確認された。
• 有界重み構造 $w$ を持つ三角圏 $\mathcal{T}$ がフィルター化された三角圏の増強 $\widetilde{\mathcal{T}}$ を持つ場合、$\widetilde{\mathcal{T}}$ が重みフィルトレーションとホモトピー群の適合性に関する新たな技術的公理を満たす限り、強重み複体関手 $\mathcal{T} \to K(\heartsuit(w))^{\operatorname{anti}}$ が存在することが示された。
• 強重み複体関手の証明は、$\widetilde{\mathcal{T}}$ 内の $3\times 3$-図式の三角形の構成と、$\sigma$-切り出しおよび $w$-切り出し関手 $w_{\leq n}$, $w_{\geq n}$ を用いた重み分解の上げに依存している。
• 構成により、$\omega(w_{\geq n+1}X) \in \mathcal{T}^{w\geq n+1-b}$ および $\omega(w_{\leq n}X) \in \mathcal{T}^{w\leq n-c-2}$ が成り立つことが示され、重みフィルトレーションと適合することが保証された。
• 強重み複体関手の存在は、三角圏における準同型の拡張の一意性と、目標圏 $K(\heartsuit(w))^{\operatorname{anti}}$ の反同値性により確立された。