[論文レビュー] Homotopy classes of harmonic maps of the stratified 2-spheres and applications to geometric flows

Jingyi Chen, Yuxiang Li|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、エネルギーが一様に有界なストラティファイド2次元球面からコンパクトなリーマン多様体への調和写像が、有限個のホモトピー類にしか属しないことを示した。この結果は、ストラティファイド球面に対する正規化手続きを用いて得られた。この有限性は、$M_1 \not\cong S^3$、$M_2 \not\cong S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ である連結和 $M_1 \# M_2$ 上の調和写像および平均曲率流れにおける有限時刻での特異性の発生を示す応用に用いられ、これはエネルギーが有界であるが無限個の非ホモトピックな写像が存在するためである。

ABSTRACT

We show that the set of harmonic maps from the 2-dimensional stratified spheres with uniformly bounded energies contains only finitely many homotopy classes. We apply this result to construct infinitely many harmonic map flows and mean curvature flows of 2-sphere in the connected sum of two closed 3-dimensional manifolds $M_1 ot=S^3$ and $M_2 ot=S^3,\R¶^3$, which must develop finite time singularity.

研究の動機と目的

• ストラティファイド2次元球面からコンパクトなリーマン多様体への調和写像でエネルギーが一様に有界なものの、ホモトピー類が有限個であることを確立すること。
• ストラティファイド球面への $S^2$ からの正規化写像を構築し、異なるドメイントポロジーにわたるホモトピー類を体系的に追跡すること。
• 有限性の結果を応用し、$M_1 \# M_2$ 上の調和写像および平均曲率流れにおける有限時刻特異性を、トポロジカルな制約のもとで証明すること。
• $ ackslash pi_1(M)$ および $H_2$-類のトポロジカル性質を用いて、$S^2$ から $M_1 \# M_2$ への無限個の非ホモトピックな写像を構成し、エネルギーが一様に有界であることを示すこと。
• トポロジー的に $M_1, M_2 \neq S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ である $M_1 \# M_2$ が、初期エネルギーのレベルに依存しない有限時刻特異性を幾何学的流れに強制することを示すこと。

提案手法

• 吹き上がり点に由来する多重連結領域を特異点に収縮させる正規化写像を $S^2$ からストラティファイド球面 $\Sigma$ に導入し、$S^2$ を用いた写像によるホモトピーの追跡を可能にする。
• Parkerのバブルツリー収束定理を用いて、エネルギーの有界性のもとでの調和写像の極限を分析し、ストラティファイド2次元球面からの調和写像への収束を示す。
• Qing-Tianのコンパクトネス定理[11]を適用し、$L^2$ テンション場が有界なPalais-Smale列において首を除外し、ストラティファイド球面からの調和写像への収束を保証する。
• ポincare予想および基本群の構造を用いて、$M = M_1 \# M_2$ の普遍被覆における埋め込まれた球面の逆像のトポロジーを分析し、特に2つの境界を持つ成分を特に注目する。
• 線形独立性を $H_2(S^2 \times (-1,1)) = \mathbb{Z}$ を用いて、$ ackslash pi_1(M)$ の列 $\{\gamma_i\}$ を構成し、$i \neq j$ に対して $[\gamma_i \circ \tilde{u}]_{H_2} \neq [\gamma_j \circ \tilde{u}]_{H_2}$ となるようにする。
• 正規化およびホモトピー追跡を用いて、ストラティファイド球面からエネルギー $\leq C$ の調和写像が存在しないホモトピー類においては、調和写像流れが有限時刻特異性を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーが一様に有界なストラティファイド2次元球面からコンパクトなリーマン多様体への調和写像の集合が、有限個のホモトピー類にしか含まないか？
• RQ2 ストラティファイド球面の正規化が、$S^2$ からの写像を用いて、そのようなドメインからのホモトピー類を体系的に追跡できるか？
• RQ3 $S^2$ から $M_1 \# M_2$ へのエネルギーが一様に有界な無限個の非ホモトピックな写像の存在が、$M_1 \# M_2$ 上の幾何学的流れにおける有限時刻特異性を示唆するか？
• RQ4 $M_1$ および $M_2$ にどのようなトポロジカル条件を課すと、$M = M_1 \# M_2$ がエネルギーが有界な無限個の非ホモトピックな写像を $S^2$ から持つようになるか？
• RQ5 エネルギーが有界なストラティファイド球面からの特定のホモトピー類に調和写像が存在しないという事実を、調和写像および平均曲率流れにおける有限時刻 blowup の証明に用いることができるか？

主な発見

• 任意の $C > 0$ に対して、エネルギー $\leq C$ であるストラティファイド2次元球面からコンパクトなリーマン多様体 $N$ への調和写像の集合は、有限個のホモトピー類にしか含まない。これは定理1.1で確立された。
• $S^2$ からストラティファイド球面 $\Sigma$ への正規化写像が構成され、多重連結領域が特異点に収縮され、$\Sigma$ からの写像のホモトピー類が $S^2$ を用いた写像によって追跡可能になる。
• $M = M_1 \# M_2$ で $M_1 \not\cong S^3$、$M_2 \not\cong S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$ のとき、エネルギーが一様に有界で、互いに非ホモトピックな像を持つ無限個の滑らかな写像 $u_k: S^2 \to M$ が存在する。これは定理5.1で示された。
• 任意の such $u_k$ から出発する調和写像流れは、対応するストラティファイド球面からの調和代表元が存在しないことにより、有限時刻特異性を示す。
• 同様に、面積が一様に有界で、非ホモトピックな像を持つ埋め込み $w_k: S^2 \to M$ の平均曲率流れも、定理1.2(B)で示されるように、有限時刻特異性を示す。
• 主なトポロジカルなメカニズムは、$ ackslash pi_1(M)$ の列 $\{\gamma_i\}$ が存在し、$H_2$-類 $[\gamma_i \circ \tilde{u}]_{H_2}$ が互いに異なることにより、エネルギーが有界な無限個の非ホモトピックな写像が保証されることである。