[論文レビュー] Homotopy classes of Newtonian spaces

Elefterios Soultanis|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、距離空間間のニュートニアン写像におけるホモトピーの2つの概念——パスホモトピーとp準ホモトピー——を導入し、比較する。Ohta位相において、p準ホモトープな写像はパスホモトープであることが確立される。主な貢献は、制御されたホモトピー下でのp準ホモトピー類に対する弱コンパクト性の結果であり、ニュートニアン空間における幾何的構造と解析的性質の関連を結ぶ。

ABSTRACT

We study notions of homotopy in the Newtonian space $N^{1,p}(X;Y)$ of Sobolev type maps between metric spaces. After studying the properties and relations of two different notions we prove a compactness result for sequences in homotopy classes with controlled homotopies.

研究の動機と目的

• 距離空間間のニュートニアン写像に対するホモトピー論を構築すること、特にソボレフ型写像の文脈において。
• ディリクレクラスおよびニュートニアンクラスの文脈において、2つの異なるホモトピー概念——パスホモトピーとp準ホモトピー——の関係を明確化すること。
• 制御されたホモトピー条件下でのp準ホモトピー類内の列に対するコンパクト性の性質を確立すること。
• 特にエネルギー最小化子やホモトピー類との関係において、ニュートニアン空間$N^{1,p}(X;Y)$の幾何的・解析的構造を調査すること。
• 商空間$H^v_M / G_v$がコンパクトである条件を探索すること。これは、$N^{1,p}(X;Y)$におけるホモトピー類のコンパクト性に関連する。

提案手法

• ディリクレクラス$D^{1,p}(X;Y)$に2つの位相を導入する：写像自身とその上部勾配の$L^p$ノルムによる標準位相、および上部勾配の$L^p$差と$L^1$距離を含む擬距離によるOhta位相。
• p準ホモトピーを、任意に小さいp容量を持つ集合を除きホモトピーであると定義する。一方、パスホモトピーはOhta位相における連続的パスとして定義する。
• 特に局所的測地的ホモトピーの文脈で、p準ホモトピーの構造を分析するために、リフトと対角被覆の概念を用いる。
• Rellich-Kondrakovのコンパクト性定理を適用し、$H^v_M$が固有距離空間であることを示し、これにより商空間$H^v_M / G_v$のコンパクト性の議論を支援する。
• 写像$\overline{\phi}_M$を介して、商空間$H^v_M / G_v$とp準ホモトピー類$[v]_{p,M}$との間にホメオモーティズムを確立する。これにより、幾何的構造と解析的構造を結びつける。
• ホモトピーの速度の$L^p$ノルムを用いて、$[v]_{p,M}$に長さ構造を定義する。長さ関数は$\ell(H) = \left(\int_X l_H^p \, d\mu\right)^{1/p}$で与えられ、この長さ構造が空間の位相と関連する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間間のニュートニアン写像の文脈において、パスホモトピーとp準ホモトピーの概念はどのように関係するか？
• RQ2 Ohta位相における2つの写像$D^{1,p}(X;Y)$間の連続的パスが、p準ホモトピーに同値であるための条件は何か？
• RQ3 商空間$H^v_M / G_v$がコンパクトであるための条件は何か？また、これは$N^{1,p}(X;Y)$におけるp準ホモトピー類のコンパクト性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 $N^{1,p}(X;Y)$上の$L^p$距離が誘導する位相と、p準ホモトピーの長さ構造が誘導する位相が同値である条件は何か？
• RQ5 すべてのp準ホモトピー$H: v \simeq u$に対して、$\int_X l_H^p \, d\mu$の下限が、$u$が与えられたp準ホモトピー類内に存在する場合に一様に有界であるための条件は何か？

主な発見

• $D^{1,p}(X;Y)$に属する2つの写像がp準ホモトープであるならば、それらはOhta位相における連続的パスで接続可能であり、解析的および位相的ホモトピー概念の間のリンクを確立する。
• 写像$h: [0,1] \to D^{1,p}(X;Y)$が、速度の$L^p$ノルムに一様な有界性と、画像間の距離の$L^1$ノルムに有界性を満たすならば、その端点はp準ホモトープである。
• 商空間$H^v_M / G_v$がコンパクトであるための必要十分条件は、$H^v_M / G_v$の直径が有限であることである。これは、すべてのp準ホモトピー$H: v \simeq u$に対して、$\int_X l_H^p \, d\mu$の下限が$u \in [v]_M$の上ですべて一様に有界であるときに成立する。
• $\overline{\phi}_M: H^v_M / G_v \to [v]_{p,M}$は適切に定義された全単射であり、$H^v_M / G_v$がコンパクトならば、$\overline{\phi}_M$はホメオモーティズムである。これにより、$[v]_{p,M}$がコンパクトであることが示される。
• $H^v_M / G_v$上の距離$\overline{d}$は、p準ホモトピーの速度の$L^p$ノルムに対応し、この構造は$[v]_{p,M}$に長さ空間構造を誘導する。
• $[v]_{p,M}$のコンパクト性は、$H^v_M / G_v$のコンパクト性と同値であり、さらにそれはすべてのp準ホモトピー$H: v \simeq u$（$u \in [v]_M$）に対して$\int_X l_H^p \, d\mu$が一様に有界であることに同値である。