[論文レビュー] Homotopy Diagrams of Algebras

Martin Markl|ArXiv.org|Mar 7, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、強くホモトピー的代数のホモトピー的図式を分類する彩色オペラッドの明示的かつ最小なコフリッブレントモデルを構成し、ホモトピー的同型写像と強くホモトピー的同値性を通じたホモトピーの厳密な代数的定式化を可能にする。主な貢献は、オペラッド的分解を用いた構造的チェーン複体におけるホモロジー的摂動の概念的かつ計算可能な枠組みの確立である。

ABSTRACT

In [math.AT/9907138] we proved that strongly homotopy algebras are homotopy invariant concepts in the category of chain complexes. Our arguments were based on the fact that strongly homotopy algebras are algebras over minimal cofibrant operads and on the principle that algebras over cofibrant operads are homotopy invariant. In our approach, algebraic models for colored operads describing diagrams of homomorphisms played an important role. The aim of this paper is to give an explicit description of these models. A possible application is an appropriate formulation of the `ideal' homological perturbation lemma for chain complexes with algebraic structures. Our results also provide a conceptual approach to `homotopies through homomorphism' for strongly homotopy algebras. We also argue that strongly homotopy algebras form a honest (not only weak Kan) category. The paper is a continuation of our program to translate the famous book "M. Boardman, R. Vogt: Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces" to algebra.

研究の動機と目的

• 強ホモトピー的代数の図式を記述する彩色オペラッドの明示的かつ計算可能な最小なコフリッブレントモデルを提供すること。
• オペラッド的分解を用いて、強ホモトピー的代数間のホモトピー的同型写像の概念を形式化すること。
• 提案された枠組みのもとで、強ホモトピー的代数が弱カーンでない（真の）圏をなすことの確立。
• これらのモデルを用いて、ホモロジー的摂動補題を、$A(\infty)$-構造などの高い代数的構造を持つ代数へ一般化すること。
• ホモトピー的同値性および摂動の下での代数的構造の拡張のための概念的基盤を提供すること。

提案手法

• 強ホモトピー的代数の間のホモモーティズムを分類する彩色オペラッド $\mathcal{A}_{\mathbf{B} \to \mathbf{W}}$ の最小モデル $\mathfrak{M}_{\mathbf{B} \to \mathbf{W}}$ を構築する。
• コフリッブレントオペラッド上の代数はホモトピー的不変であるという原則を用い、最小モデルを用いて強ホモトピー的ホモモーティズムを符号化する。
• ホモモーティズムのための2つの独立した生成子を持つ第二のモデル $\mathfrak{M}_{{\mathbf{B} \rightrightarrows \mathbf{W}}}$ を導入し、ホモモーティズムを通じたホモトピーを符号化する。
• 互いに逆のホモモーティズムのオペラッドのための最小モデル $\mathfrak{M}_{\mathrm{Iso}}$ を用いて、強ホモトピー的同値性を定義する。
• 標準的なホモロジー代数の技法（例：一般論）を用いて、ホモモーティズムのホモトピー類の同値関係を証明する。
• 任意の図式 $\mathcal{D}$ への一般化を仮説的に提示し、$\mathfrak{M}_{\mathcal{D}}$ を $X \times V \sqcup F \sqcup X^F$ 上の自由オペラッドと、図式の関係の交換子と摂動を組み合わせた微分から構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強ホモトピー的代数の間のホモモーティズムを分類する彩色オペラッドの明示的最小コフリッブレント分解をどのように構成できるか。
• RQ2 強ホモトピー的代数のホモモーティズムを通じたホモトピーを分類するオペラッド的構造は何か。
• RQ3 強ホモトピー的代数の強ホモトピー的同値性は、オペラッドを用いて一貫した代数的およびホモトピー的定義を与えられるか。
• RQ4 ホモロジー的摂動補題は、$A(\infty)$-構造などの高い代数的構造を持つチェーン複体にどのように適応できるか。
• RQ5 任意の図式カテゴリ上の強ホモトピー的代数の図式に対して、一般のオペラッド的モデルは存在するか。

主な発見

• 最小モデル $\mathfrak{M}_{\mathbf{B} \to \mathbf{W}}$ は、強ホモトピー的代数間の強ホモトピー的ホモモーティズムの完全な代数的記述を提供する。
• モデル $\mathfrak{M}_{{\mathbf{B} \rightrightarrows \mathbf{W}}}$ はホモモーティズムを通じたホモトピーを符号化し、関係 $\mathbf{P} \sim \mathbf{Q}$ が同値関係をなす。
• 強ホモトピー的同値性は最小モデル $\mathfrak{M}_{\mathrm{Iso}}$ を用いて定義され、そのような同値性は真の圏をなす。
• 本稿は、強ホモトピー的代数とその強ホモトピー的ホモモーティズムの圏が、弱カーンでない（well-behaved）であることを証明する。
• 構成は摂動の下での代数的構造の拡張のための概念的枠組みを提供し、構造的チェーン複体における『理想の摂動補題』の可能性を支持する。
• 任意の図式 $\mathcal{D}$ へのモデルの仮説的一般化が提示され、$\mathfrak{M}_{\mathcal{D}}$ は $X \times V \sqcup F \sqcup X^F$ 上の自由オペラッドと、図式の関係の交換子と摂動を組み合わせた微分から構成される。