[論文レビュー] Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2007

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな曲面 $M$ 上のモース関数 $f:M\to P$（$P = \mathbb{R}$ または $S^1$）の軌道 $Ω_f(f)$ が、$M$ の内部の $n$-番目の配置空間の被覆空間とホモトピー同値であることを確立している。ここで $n$ は臨界点の数である。この結果により、軌道の（上）コホモロジーは $2n-1$ より大きい次元で消えることが示され、その基本群は $n$-次ブレード群 $\mathcal{B}_n(M)$ に埋め込まれる。これにより、そのホモトピー次元に対する鋭い上界が得られる。

ABSTRACT

Let $f$ be a real- or circle-valued Morse function on a compact surface M having exactly $n>0$ critical points. Denote by $O$ the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms of $M$. We show that the connected components of $O$ have the homotopy type of a finite-dimensional CW-complex. Actually, these connected components are homotopy equivalent to a certain covering space of the $n$-th configuration space of the interior of $M$. As a consequence we obtain that the fundamental group of $O$ is a subgroup of the $n$-th braid group of $M$.

研究の動機と目的

• 微分同相型の単位成分による作用の下で、モース関数 $f:M\to P$ の軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ のホモトピー型を特定すること。
• 特に臨界点の数にかかわる形で、このような軌道のホモトピー次元に対する鋭い上界を確立すること。
• 軌道の基本群をブレード群 $\mathcal{B}_n(M)$ と関連づけ、軌道を $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ の被覆空間として記述すること。

提案手法

• 軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ を、$\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ による作用（$h \cdot f = f \circ h^{-1}$）の下での $f$ のパス成分として定義する。
• 各関数からその臨界点の集合へ写像するファイブレーション $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ を構成する。
• ファイブレーション $k$ が局所自明であり、ファイバーが臨界点集合の安定化部分群による軌道 $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$ であることを証明する。
• 既存の結果から $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$ が収縮可能であることを用いて、$k$ が $\pi_1$ にモノモーティズムを誘導し、$i \geq 2$ に対して $\pi_i$ に同型を与えることを示す。
• $k$ を、$\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ の像が $\pi_1(\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)) \cong \mathcal{B}_n(M)$ に写像する対応する $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ の被覆空間 $\mathcal{F}(f)$ に上げ、$\mathcal{O}_f(f)$ と $\mathcal{F}(f)$ の間のホモトピー同値性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相型のホモトピー変形の下で、コンパクト曲面上のモース関数の軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ のホモトピー型は何か？
• RQ2 臨界点の数 $n$ は、$\mathcal{O}_f(f)$ のホモトピー次元にどのように制約を加えるか？
• RQ3 $\mathcal{O}_f(f)$ は、$\mathrm{Int}\,M$ 内の点の配置空間の被覆空間として実現可能か？
• RQ4 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ とブレード群 $\mathcal{B}_n(M)$ の関係は何か？

主な発見

• 軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ は、$f$ の臨界点数 $n$ に対応する $n$-番目の配置空間 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ の被覆空間 $\mathcal{F}(f)$ とホモトピー同値である。
• この結果として、$\mathcal{O}_f(f)$ の（上）コホモロジーはすべての次元 $2n-1$ を超える次元で消えるため、$\mathrm{h.d.}\, \mathcal{O}_f(f) \leq 2n-1$ が成り立つ。
• 基本群 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ は $n$-次ブレード群 $\mathcal{B}_n(M)$ の部分群に同型である。
• ファイブレーション $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ は $\pi_1$ にモノモーフィズムを誘導し、$i \geq 2$ に対して $\pi_i$ に同型を与えるため、被覆空間へのホモトピー同値性が可能になる。
• 被覆写像 $\mathcal{F}(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ は一般に正規でないため、$\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ が $\mathcal{B}_n(M)$ の正規部分群であるとは限らない。
• 臨界値が異なる（一般的）モース写像に対しては、軌道 $\mathcal{O}_f(f)$ は収縮可能、またはトーラスや $\mathbb{R}P^3 \times T^k$ とホモトピー同値であるが、一般の結果は一般性の有無にかかわらず成立する。